Teorema di Ascoli-Arzelà

Il Teorema di Ascoli-Arzelà è un teorema di analisi matematica, di fondamentale importanza in analisi funzionale.

Il teorema fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende $C([a,b])$, lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$, uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).

Il teorema

Una successione di funzioni continue $\{f_n\}_{n\in N}$ definite su un intervallo $[a,b]$ è detta uniformemente limitata se esiste un numero $M$ tale che:

$|f_n(x)| \le M$

per ogni funzione $f_n$ della successione e per ogni $x \in [a,b]$. Una tale successione si dice equicontinua se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che:

$|f_n(t)-f_n(\tau)|<\varepsilon \qquad |t-\tau|<\delta$

per ogni funzione $f_n$ della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione $f_n$ di funzioni continue a valori reali uniformemente limitate definite su $[a,b] \in \R$ chiuso e limitato. Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente uniformemente.

Generalizzazione

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è detto relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano $X,Y$ spazi metrici, $X$ compatto ed $E$ un sottoinsieme di $C(X,Y)$. Se $E$ è equicontinuo e l'insieme $E(t)=\{f(t) : f \in E\}$ è relativamente compatto per ogni $t$ in $X$, allora $E$ è relativamente compatto.

Dimostrazione

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo $[a,b]$ ed una successione $f_n$. Allora essa è limitata sul primo razionale $q_1$, ma poiché $[-M,M]$ è un compatto (dove $M$ è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su $q_1$, che indichiamo con $f_{1,n}$. La sottosuccessione $f_{1,n}$ è limitata sul secondo razionale $q_2$ e ammette dunque una sotto-sottosuccesseione convergente su $q_2$, indicata con $f_{2,n}$. Questa a sua volta sarà limitata su $q_3$, e così via. Procedento in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni $f_{m,n}$ tali che $f_{m,n}$ converge per ogni $q_i$, con $i$ minore o uguale a $m$. A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle $f_{m,n}$, cioè prendendo la successione $f_{n,n}$ che converge su ogni razionale contenuto in $[a,b]$.

Si vuole dimostrare che la successione $f_{n,n}$ è di Cauchy su $[a,b]$, poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque $\varepsilon$ e si ricavi dall'equicontinuità il $\delta$ corrispondente. Ricoprendo quindi $[a,b]$ con $N$ intervallini $I_n$, tutti di ampiezza minore di $\delta$, ogni $t$ dell'intervallo $[a,b]$ appartiene a un $I_n$. Quindi si ha:

$|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(\tau)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_i)|+|f_{n,n}(q_i)-f_{m,m}(q_i)|+|f_{m,m}(q_i)-f_{m,m}(\tau)| \$

Il termine centrale a secondo membro è minore di $\varepsilon$ per $m,n$ sufficientemente grandi, poiché $f_{n,n}$ converge su tutti i razionali. Il primo e il terzo termine a secondo membro sono invece minori di $\varepsilon$, per $m,n$ sufficientemente grandi, in virtù dell'equicontinuità delle $f_{n}$. Se ora si considera il massimo valore su $t$ si ottiene che la norma infinita della differenza tra $f_{n,n}$ e $f_{m,m}$ è minore di $\varepsilon$ per $m,n$ sufficientemente grandi. Dunque $f_{n,n}$ è di Cauchy e pertanto converge ad una funzione continua.

Bibliografia

• Arzelà, Cesare (1895). Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74..
• Arzelà, Cesare (1882–1883). Un'osservazione intorno alle serie di funzioni. Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159..
• Ascoli, G. (1883–1884). Le curve limiti di una varietà data di curve. Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586..
• Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rend. Circ. Mat. Palermo 22: 1–74. DOI:10.1007/BF03018603..
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (McGraw-Hill).

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