Differenziale (matematica)

In matematica, in particolare nel calcolo infinitesimale, il differenziale è definito come la variazione infinitesima di una variabile.

Per una funzione f di una sola variabile x, il differenziale df di f è definito da:

$\mathrm d f = \frac{\mathrm d f}{\mathrm d x} \mathrm d x,$

dove df/dx denota la derivata di f rispetto a x. Tale formula esplicita intuitivamente il fatto che la derivata è il limite del rapporto incrementale Δf/Δx per Δx infinitamente piccolo.

Si prenda ad esempio una funzione f : U → R derivabile (U aperto in R). La si può approssimare in un intorno di un qualsiasi punto x₀ del dominio mediante la funzione l ( x ) = f' ( x₀ ) ( x - x₀ ) + f ( x₀ ), (il cui grafico è la retta tangente al grafico di f in ( x₀, f ( x₀ ) ); l è un'applicazione affine da R in R, cioè un'applicazione lineare sulla distanza da x₀ (la parte f' ( x₀ ) ( x - x₀ ) ), chiamata differenziale di f in x₀, composta con una traslazione ( · + f ( x₀ ) ).

La derivata, e più in generale le derivate direzionali, permettono di calcolare il differenziale, ma sono due concetti da tener ben distinti. Le prime, calcolate in un punto, ci dicono di quanto varia la funzione al primo ordine lungo un determinato vettore; il differenziale (sempre calcolato in un punto) è l'applicazione lineare che associa a quel vettore la variazione al primo ordine.

Il differenziale è utile per avere informazioni locali sulla funzione di partenza, ad esempio ci dice se è localmente invertibile.

Definizione

Siano E, F due spazi di Banach (possiamo pensare, ad esempio, che E = R^m e F = Rⁿ) ed $U \subset E$ aperto. Una funzione f : U → F si dice differenziabile in $x \in U$ se la sua variazione quando si allontana da x è approssimabile tramite una applicazione lineare continua (se E ha dimensione finita la continuità è assicurata), cioè esistono φ: E → F lineare ed σ: U → F infinitesima in 0 (cioè σ ( h ) → 0 per h → 0) tali che

$f(x + h) = f(x) + \phi(h) + \|h\|\sigma(h)$

usando la notazione con o-piccolo è

$f(x + h) = f(x) + \phi(h) + o(\|h\|)$

Se f è differenziabile in x chiamiamo differenziale di f in x l'applicazione φ. Per indicarlo si possono usare diverse notazioni: df ( x ) , f ' ( x ), D f ( x ), ∂f ( x ). Si sottolinea che in generale df ( x ) è un'applicazione lineare e non un numero (le due cose coincidono solo dopo la scelta di una base quando E ed F sono di dimensione 1, vedi sotto).

Il differenziale è la parte lineare dell'applicazione affine che ha il grafico tangente a quello della funzione

La presenza dell' o-piccolo ci dice che i grafici di f e f ( x ) + df ( x ) sono tangenti in x. Intuitivamente, immaginiamo che f sia una funzione da R² in R (quindi il grafico di f è una superficie e quello di f ( x ) + df ( x ) un piano), se i loro grafici incontrandosi in x formassero un angolo allora la differenza (l'errore commesso nella stima)

$\ \varepsilon(h) = f(x+h) - ( f(x) + df (x) (h) )$

dovrebbe essere lineare avvicinandosi ad x in una certa direzione e il rapporto ε / ║h║ tenderebbe alla tangente dell'angolo formato tra il piano e la superficie in quella direzione, un numero diverso da 0 (ε ( h ) non sarebbe o ( ║h║ ) come richiesto dalla definizione). Segue che se f è differenziabile in x il differenziale df ( x ) è la parte lineare della applicazione affine il cui grafico è tangente a quello di f in x.

Si incontra anche un'altra definizione equivalente. Se f è differenziabile in x possiamo anche scrivere

$f(x+h) -f(x) - \phi(h) = o(\|h\|)$

e per definizione di o-piccolo

$\frac{f ( x + h ) - f ( x ) - \phi ( h )}{\|h\|} \to 0$ per $h \to 0$

prendendo questa come definizione diciamo che f è differenziabile in x se esiste φ per cui quel limite valga 0 (l'altra implicazione per dimostrare l'equivalenza è altrettanto banale, basta prendere $\sigma ( h ) = \|h\|^{-1} ( f (x + h ) - f ( x ) - \phi ( h ) ))$.

Scelte delle basi per E ed F, se questi sono di dimensione finita possiamo rappresentare φ con una matrice chiamata matrice jacobiana

Casi particolari

Spesso nella pratica E ed F sono spazi euclidei del tipo Rⁿ (da notare che ci si può sempre riportare a questo caso per spazi di dimensione finita) considerati con la base canonica, e il differenziale prende forme a cui si da un nome particolare.

Alcuni esempi (tutte le funzioni seguenti sono da considerarsi differenziabili con continuità):

• f : D ⊆ R → R. In questo caso il concetto di differenziale coincide con quello di derivata. Il differenziale di f in x è un'applicazione lineare df ( x ) : R → R quindi sarà del tipo df ( x ) ( h ) = a h per qualche numero reale a (questo perché tutte le applicazioni lineari di R in R sono di quella forma fissata la base canonica 1). È semplice vedere che a è la derivata di f in x, infatti per definizione

f ( x + h ) - f ( x ) = a h + σ ( h ) ║h║

dividendo per h per portando al limite h → 0 si ottiene f '( x ) = a perché σ è infinitesima in 0.

• f : D ⊆ Rⁿ → R. Per n = 2 sono le funzioni che hanno come grafico delle superfici nello spazio tridimensionale. La jacobiana è una matrice 1×n perché rappresenta una applicazione lineare da Rⁿ → R (prese sempre le basi canoniche per dominio e codominio), cioè è un vettore riga che si indica con grad f ( x ) o ∇f ( x ) e viene chiamato gradiente di f in x. Si può anche considerarlo come un vettore colonna (prendendo la trasposta), in questo caso però si calcola l'immagine di h tramite grad f facendo il prodotto scalare e non la moltiplicazione tra matrici. Solitamente si usano funzioni da D ⊆ Rⁿ → R per definire implicitamente delle ipersuperfici su D. Ad esempio per n = 2 possiamo definire una curva γ in D come l'insieme degli x ∈ D per cui f ( x ) = 0. Per n = 3 si avrebbe una superficie. È facile dimostrare che se ∇f ( x ) non è nullo il suo nucleo, opportunamente traslato, è il sottospazio affine tangente all'ipersuperficie in x (quando si prende come gradiente il vettore colonna il nucleo è il sottospazio ortogonale a ∇f).

• f : [a, b] ⊆ R → Rⁿ. L'immagine di f è una curva in Rⁿ. Anche in questo caso il concetto di derivata e differenziale coincidono: la jacobiana n×1 ha le stesse componenti del vettore che si ottine come limite del rapporto incrementale. Quando f rappresenta il moto di un punto materiale nello spazio df è la velocità. L'insieme di tutti i suoi multipli (o considerando df come un'applicazione lineare, la sua immagine) è una retta che opportunamente traslata è tangente alla curva.

Gli ultimi due esempi sono rispettivamente casi particolari di sommersioni ed immersioni.

La notazione di Leibniz nel caso di funzioni da R in R

La funzione che associa x ad x (funzione identità) è lineare e, come tale, è differenziabile. Come ogni funzione lineare, il suo differenziale è uguale alla funzione stessa e indipendente dal punto x in cui lo si calcola. Se lo indichiamo con dx ( x ) avremo, indipendentemente da x,

$dx(x)(h) = h \$

Giustificazione della notazione di Leibniz in termini del differenziale della funzione

Visto che la derivata è la jacobiana del differenziale per funzioni da R in R abbiamo

$df(x)(h) = f'(x)h = f'(x)dx(h) \$

da cui:

$f'(x)=\frac{df(x)(h)}{dx(h)} \$

Quindi il rapporto delle due funzioni lineari (i due differenziali) è costante ed è uguale alla derivata nel punto.

In questo modo è possibile dare un senso rigoroso alla notazione di Leibniz che esprime la derivata di una funzione come il quoziente tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente.

Tuttavia la trattazione svolta, almeno in questa forma, non è in grado di giustificare le operazioni aritmetiche sui differenziali, che peraltro, nella notazione di Leibniz, nonostante la mancanza di una base rigorosa, forniscono un metodo mnemonico semplice (e funzionante) per la scrittura di proprietà delle derivate.

Per un recupero rigoroso dei metodi leibniziani, è invece necessario rifarsi a metodi che appartengono alla cosiddetta Analisi non standard, formulata da Abraham Robinson negli anni sessanta.

Differenziale per mappe su varietà

Push-forward di una curva

Se abbiamo due varietà lisce (C^∞) M, N ed una funzione C^∞, f : M → N, possiamo definire il differenziale di f in m ∈ M, indicato con df_m, come l'applicazione lineare dallo spazio tangente a M in m, T_m M, a quello tangente a N in f ( m ), T_f(m) N, che manda v ∈ T_m M in df_m ( v ) ∈ T_f(m) N con

df_m ( v ) ( g ) = v ( g $_\circ$ f )

(dove abbiamo considerato i vettori tangenti come derivazioni). Considerando i vettori tangenti come classi di equivalenza di curve passanti per m abbiamo la definizione corrispondente

df_m ( [ γ ] ) = [ f_{$\ _{*}$} γ ] = [ f $_\circ$ γ ]

Bibliografia

• Giuseppe De Marco, Analisi Due, Decibel-Zanichelli, 1999.
• (EN) Serge Lang, Undergraduate Analysis, Springer, 1997.
• (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993.
• (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1991.
• (EN) Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.

Voci correlate

• Subdifferenziale
• Funzione differenziabile

Altri progetti

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