Coefficiente multinomiale

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Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per un numero intero non negativo n, e un vettore intero non negativo \mathbf k di norma uno pari a n, il coefficiente multinomiale è definito come

{n \choose \mathbf k} := \frac{n!}{\prod_{i=1}^r k_i!}

ed è sempre un numero naturale.

Teorema multinomiale[modifica | modifica sorgente]

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

(x_1+\ldots+x_r)^n =\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot \prod_{i=1}^r x_i^{k_i}.

ovvero

(\sum_{i=1}^r x_i)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r \frac{x_i^{k_i}}{k_i!}}

dove \sum_{k_1+\ldots+k_r=n} indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a n.


Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

 x^n= \sum_{k=n} n! \frac{\mathbf x^{\mathbf k}}{\mathbf k!} \,

con le norme unitarie:

k = \sum_{i=1}^r k_i= \left \| \mathbf k  \right \|_1
x = \sum_{i=1}^r x_i= \left \| \mathbf x  \right \|_1

e:

\mathbf{x}^{\mathbf k} = (x_{1}^{k_{1}}, x_{2}^{k_{2}}, \ldots x_{r}^{k_{r}}) \in \mathbb{R}^r

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi n oggetti in r scatole, tali che k_1 oggetti stiano nella prima scatola, k_2 nella seconda, e così via.

Analogamente il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n oggetti, di cui k_1 uguali tra loro, k_2 uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi k_i essere uguale a 1, e avendosi così \sum_{i=1}^r k_i=n.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

p(\mathbf x=\mathbf k) \;=\; {n \choose \mathbf k}\cdot \prod_{i=1}^r p_i^{k_i}

una variabile casuale discreta.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica