Coefficiente multinomiale
Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per numeri interi non negativi n, k1, ..., kr con k1 + ... + kr = n, il coefficiente multinomiale è definito come
ed è sempre un numero naturale.
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[modifica] Teorema multinomiale
Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:
ovvero
dove
indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a n.
Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice:
con
[modifica] Applicazioni
Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi n oggetti in r scatole, tali che k1 oggetti stiano nella prima scatola, k2 nella seconda, e così via.
Analogamente il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n oggetti, di cui k1 uguali tra loro, k2 uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi ki essere uguale a 1, e avendosi così k1 + k2 + ... + kr = n.
Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:
una variabile casuale discreta.
[modifica] Esempio
Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:
[modifica] Voci correlate
- Calcolo combinatorio
- Coefficiente binomiale
- Probabilità
- Teorema binomiale
- Variabile casuale multinomiale
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