Coefficiente multinomiale

Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Per numeri interi non negativi n, k₁, ..., k_r con k₁ + ... + k_r = n, il coefficiente multinomiale è definito come

${n \choose k_1, \dots , k_r} := \frac{n!}{k_1!\cdot \dots \cdot k_r!}$

ed è sempre un numero naturale.

Teorema multinomiale

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

$(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}.$

ovvero

$(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r x_i^{k_i}\cdot\frac{1}{k_i!}}$

dove $\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}$ indica la sommatoria di tutte le possibili erruple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a n.

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice:

$(x_1+\ldots+x_r)^n= \sum_{|\alpha|=n}^{}{\frac{n!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}$

con

$| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \ldots + \alpha_{n}$

$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in \mathbb{R}^n$

$\mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}$

Applicazioni

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi n oggetti in r scatole, tali che k₁ oggetti stiano nella prima scatola, k₂ nella seconda, e così via.

Analogamente il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n oggetti, di cui k₁ uguali tra loro, k₂ uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi k_i essere uguale a 1, e avendosi così k₁ + k₂ + ... + k_r = n.

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale:

$P(X_1=k_1,\, X_2=k_2,\,\dots\, , X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dots , k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_r^{k_r},$

una variabile casuale discreta.

Esempio

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi? La risposta si trova nel coefficiente multinomiale:

${32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640$

Voci correlate

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

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