Punto di discontinuità

Si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali $f$ un punto appartenente al dominio di $f$ nel quale la funzione non risulti continua.

Nel caso di una funzione a una sola variabile $f : [a,b] \to \R$, questo significa che un punto $x_0 \in (a,b)$ è di discontinuità se e solo se non è verificata la condizione:

$\lim_{x\to x_0^{-}}f(x) = \lim_{x\to x_0^{+}}f(x) = f(x_0)$.

A seconda del modo in cui questa condizione viene a mancare, i punti di discontinuità vengono raggruppati sotto tre famiglie, dette specie:

1. discontinuità di prima specie: il limite destro e il limite sinistro per $x$ tendente a $x_0$ esistono finiti, ma sono diversi tra loro (la funzione presenta un "salto" finito nel punto di ascissa $x_0$);
2. discontinuità di seconda specie: almeno uno dei due limiti per $x$ tendente a $x_0$ è infinito (positivo o negativo) oppure non esiste (in quest'ultimo caso si parla anche di discontinuità essenziale);
3. discontinuità di terza specie (o eliminabile): esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per $x$ tendente a $x_0$, ma il loro valore è diverso dal valore di $f$ nel punto $x_0$.

Discontinuità di prima specie (o di salto)

Sia $f : X \to Y$.

Un punto $x_0 \in X$ è di discontinuità di prima specie per $f$ quando esistono i limiti sinistro e destro della funzione per $x$ che tende a $x_0$ e sono entrambi finiti, ma sono diversi. Ovvero quando valgono tutte le seguenti condizioni:

• $\exists \lim_{x \to x_0 ^{-}}f(x) =: f(x_0^{-}) \in \mathbb{R}$
• $\exists \lim_{x \to x_0 ^{+}}f(x) =: f(x_0^{+}) \in \mathbb{R}$
• $f(x_0^{-}) \neq f(x_0^{+})$

La discontinuità viene comunemente definita "di salto" perché l'aspetto del grafico è quello di un salto nel punto di discontinuità. Viene inoltre detto "salto" la quantità $f(x_0^{+}) - f(x_0^{-})$.

Esempi

Discontinuità a salto.

La funzione

$f(x) = \sgn(x) := \begin{cases}\frac{x}{|x|} &\text{ se } x \neq 0\, \\0 &\text{ se } x = 0 \end{cases}$

vale sempre 1 per $x$ positivi e -1 per $x$ negativi, e fa quindi un "salto" in $x=0$ (in cui vale 0).

Nell'esempio mostrato in figura, la funzione è definita nel modo seguente:

$f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ se } x< x_0 \\ 0 & \mbox { se } x=x_0 \\ 2-(x-x_0)^2& \mbox{ se } x>x_0\end{cases}$

Discontinuità di seconda specie (o essenziale)

Sia $f : X \to Y$.

Un punto $x_0 \in X$ è di discontinuità di seconda specie per $f$ quando il limite della funzione per $x$ che tende a $x_0$ da destra e/o da sinistra è infinito o non esiste. In altre parole, quando vale una delle seguenti condizioni:

• $\not\exists\left(\lim_{x \to x_0^{-}}f(x) \vee \lim_{x \to x_0^{+}}f(x)\right)$
• $\left(\lim_{x \to x_0^{-}}f(x) \vee \lim_{x \to x_0^{+}}f(x)\right) \notin \mathbb{R}$

Nel primo caso, la discontinuità è anche detta essenziale. Taluni definiscono "punto di discontinuità di seconda specie" anche un punto che non appartiene al dominio della funzione, ma che ne è di accumulazione ($x_0 \in X^{\prime} \setminus X$), e per cui valga una delle condizioni di cui sopra (ad esempio, $\frac{1}{x}$ oppure $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$, i cui limiti per $x \to 0$ sono rispettivamente infinito e inesistente). A rigore, tuttavia, una funzione dovrebbe essere definita "continua" o "discontinua" solo nei punti appartenenti al suo insieme di definizione, e in questo senso funzioni come quelle citate sono continue in tutto il loro dominio (in entrambi i casi, l'insieme $(-\infty, 0)\, \cup (0, +\infty)$.

Esempi

Discontinuità di seconda specie.

Un esempio con il limite infinito è la funzione

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x} & \mbox { se } x \neq 0 \\ \alpha & \mbox{ se } x = 0 , \quad \alpha \in \mathbb{R} \end{cases}$

Un esempio in cui il limite non esiste è mostrato in figura ed è la funzione

$f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-x_0} & \mbox{ se } x< x_0 \\ 0 & \mbox { se } x=x_0 \\ \frac{0.1}{x-x_0}& \mbox{ se } x>x_0\end{cases}$

Discontinuità di terza specie (o eliminabile)

Sia $f : X \to Y$.

Un punto $x_0 \in X$ è di discontinuità di terza specie per $f$ quando il limite destro della funzione per $x$ che tende a $x_0$ è uguale a quello sinistro, con entrambi valori finiti, ma il valore di $f$ in $x_0$ non coincide con questi limiti. In altre parole, quando valgono tutte le seguenti condizioni:

• $\exists \lim_{x \to x_0 ^{-}}f(x) =: f(x_0^{-}) \in \mathbb{R}$
• $\exists \lim_{x \to x_0 ^{+}}f(x) =: f(x_0^{+}) \in \mathbb{R}$
• $f(x_0^{-}) = f(x_0^{+}) \neq f(x_0)$

La discontinuità viene anche detta eliminabile in quanto è sufficiente "aggiustare" il valore di $f(x)$ in $x_0$ nel modo seguente:

$f^{*}(x) := \begin{cases} f(x) & \mbox{ se } x \neq x_0 \\f(x_0^{-}) & \mbox { se } x = x_0\end{cases}$

per rendere la funzione continua nel punto.

Vi sono alcuni che definiscono un punto "di discontinuità eliminabile" anche quando non appartiene al dominio della funzione, ma è di accumulazione per la funzione, e attorno al quale la funzione assuma limite finito e uguale da sinistra e destra.

Esempi

Discontinuità eliminabile.

La funzione

$f(x) = \begin{cases}\frac {\sin(x)} x & \mbox { se } x \neq 0 \\ \ell & \mbox{ se } x = 0 , \quad \ell \in \mathbb{R}\end{cases}$

si può estendere ad una funzione continua in $0$ ponendo $\ell = f(x_0^{-}) = f(x_0^{+}) = 1$ (vedi limite notevole per il calcolo del limite). Per qualunque altra scelta di $\ell$, la funzione presenterà discontinuità eliminabile in $x = 0$.

Un altro esempio, la cui figura è mostrata a lato, è rappresentato dalla funzione

$f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ se } x<x_0 \\ 0 & \mbox { se } x=x_0 \\ 2-x& \mbox{ se } x>x_0\end{cases}$

Bibliografia

• P. Soardi, Analisi Matematica (nuova edizione), Novara, Città Studi Edizioni, 2010. ISBN 978-88-251-7359-8.
• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis (in inglese), A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, pp. 70. ISBN 0-07-054235-X.

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