Primitiva (matematica)

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Tre primitive della funzione f(x)=x^2 - x - 1.

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione f una funzione derivabile F la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, F'(x)=f(x). L'insieme di tutte le primitive di una funzione f è detto integrale indefinito di f.[1] Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.[2]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione f\colon I\to \mathbb{R}, definita su un intervallo  I\subset \mathbb{R}, si definisce primitiva una funzione F\colon I\to \mathbb{R} tale che

F'(x) = f(x)

per ogni x \in I.

Se F è una primitiva di f, tutte e sole le primitive di f sono nella forma F(x) + C, dove C è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di f è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

\int f(x)dx

e se F è una particolare primitiva di f, allora

\int f(x)dx = F(x) + C

al variare di C \in \mathbb{R}.[1]

Principali primitive[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Categoria:Tavole di integrali.

Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

\int{x^{a}\,\mathrm{d}x}=\frac{x^{a+1}}{ a+1}+C  \,\ con  a\neq -1 \,\
\int{\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x}=\ln{|x|}+C  \,\  
\int{\mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x}+C  \,\  
\int{a^{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{a^{x}}{\ln{a}}+C  \,\ con a>0 \,\ ,a\neq1 \,\
\int{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=-\cos{x}+C  \,\  
\int{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\sin{x}+C  \,\  
\int{\tan{x}}\,\mathrm{d}x=-\ln{|\cos{x}|}+C  \,\  
\int{\cot{x}}\,\mathrm{d}x=\ln{|\sin{x}|}+C  \,\  
\int{\sinh{x}}\,\mathrm{d}x=\cosh{x}+C  \,\  
\int{\cosh{x}}\,\mathrm{d}x=\sinh{x}+C  \,\  
\int{\tanh{x}}\,\mathrm{d}x=\ln{(\cosh{x})}+C \,\  
\int{\coth{x}}\,\mathrm{d}x=\ln{|(\sinh{x})|}+C  \,\  
\int{\frac{1}{(\cos{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=\tan{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{(\sin{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=-\cot{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{(\cosh{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=\tanh{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{(\sinh{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=-\coth{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{(\sinh{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=-\coth{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\arctan{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\frac{x+1}{x-1}}+C  \,\ con |x| > 1 \,\
\int{\frac{1}{\sqrt[]{1-x^{2}}}}\,\mathrm{d}x=\arcsin{x}+C  \,\  
\int{\frac{1}{\sqrt[]{1+x^{2}}}}\,\mathrm{d}x=\ln{|x+\sqrt[]{1+x^{2}}|}+C \,\  
\int{\frac{1}{\sqrt[]{x^{2}-1}}}\,\mathrm{d}x=\ln{|x+\sqrt[]{x^{2}-1}|}+C \,\    con  |x|>1 \,\

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Soardi, P. M., cap. 9
  2. ^ Soardi, P. M., cap. 10

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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