Primitiva (matematica)

Tre primitive della funzione $f(x)=x^2 - x - 1$.

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione f una funzione derivabile F la cui derivata prima è uguale alla funzione di partenza, ovvero tale che F'(x)=f(x). L'insieme di tutte le primitive di una funzione f è detto integrale indefinito di f. Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.

Definizione

Data una funzione $f\colon I\to \mathbb{R}$, definita su un intervallo $I\subset \mathbb{R}$, si definisce primitiva una funzione $F\colon I\to \mathbb{R}$ tale che

$F'(x) = f(x)$

per ogni $x \in I$.

Se F è una primitiva di f, tutte e sole le primitive di f sono nella forma $F(x) + C$, dove C è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di f è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

$\int f(x)dx$

e se F è una particolare primitiva di f, allora

$\int f(x)dx = F(x) + C$

al variare di $C \in \mathbb{R}$.

Principali primitive

Per approfondire, vedi Categoria:Tavole di integrali.

$\int{x^{a}\,\mathrm{d}x}=\frac{x^{a+1}}{ a+1}+C \,\$	con $a\neq -1 \,\$
$\int{\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x}=\ln{|x|}+C \,\$
$\int{\mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x}+C \,\$
$\int{a^{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{a^{x}}{\ln{a}}+C \,\$	con $a>0 \,\$,$a\neq1 \,\$
$\int{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=-\cos{x}+C \,\$
$\int{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\sin{x}+C \,\$
$\int{\tan{x}}\,\mathrm{d}x=-\ln{|\cos{x}|}+C \,\$
$\int{\cot{x}}\,\mathrm{d}x=\ln{|\sin{x}|}+C \,\$
$\int{\sinh{x}}\,\mathrm{d}x=\cosh{x}+C \,\$
$\int{\cosh{x}}\,\mathrm{d}x=\sinh{x}+C \,\$
$\int{\tanh{x}}\,\mathrm{d}x=\ln{(\cosh{x})}+C \,\$
$\int{\coth{x}}\,\mathrm{d}x=\ln{|(\sinh{x})|}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\cos{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=\tan{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\sin{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=-\cot{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\cosh{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=\tanh{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\sinh{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=-\coth{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{(\sinh{x})^{2}}}\,\mathrm{d}x=-\coth{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\arctan{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\frac{x+1}{x-1}}+C \,\$	con $|x| > 1 \,\$
$\int{\frac{1}{\sqrt[]{1-x^{2}}}}\,\mathrm{d}x=\arcsin{x}+C \,\$
$\int{\frac{1}{\sqrt[]{1+x^{2}}}}\,\mathrm{d}x=\ln{|x+\sqrt[]{1+x^{2}}|}+C \,\$
$\int{\frac{1}{\sqrt[]{x^{2}-1}}}\,\mathrm{d}x=\ln{|x+\sqrt[]{x^{2}-1}|}+C \,\$	con $|x|>1 \,\$

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007. ISBN 9788825173192

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