Punto isolato

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In topologia generale, un punto isolato per un insieme è un punto che non ha altri punti di "vicini".

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un punto appartenente ad un sottoinsieme in uno spazio topologico è un punto isolato di se esiste un intorno di non contenente altri punti di .

Spazio metrico o euclideo[modifica | modifica wikitesto]

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), è un punto isolato di se esiste una palla aperta centrata in che non contiene nessun elemento di diverso da .

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

In modo equivalente, un punto di non è un punto isolato se e solo se è un punto di accumulazione per .

Insieme discreto[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni elemento di è isolato in infatti: Sia e sia un intorno di e di raggio .
Allora dalla definizione abbiamo che è un punto isolato in .
Poiché per risulta che , deduciamo che è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

  • Per l'insieme , il punto è un punto isolato.
  • Per l'insieme , ciascun punto è un punto isolato, tranne il punto che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme vicini a quanto desiderato.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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