Punto isolato

In topologia generale, un punto isolato per un insieme $S$ è un punto che non ha altri punti di $S$ "vicini".

Definizione

Un punto $x_0$ appartenente ad un sottoinsieme $S$ in uno spazio topologico è un punto isolato di $S$ se esiste un intorno di $x_0$ non contenente altri punti di S.

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), $x_0$ è un punto isolato di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x_0$ che non contiene nessun elemento di $S$ diverso da $x_0$.

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto $x_0$ di $S$ non è un punto isolato se e solo se $x_0$ è un punto di accumulazione per $S$.

Insieme discreto

Un insieme $S$ costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e $S$ è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme $\mathbb Q$ dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di $\mathbb N$ è isolato in $\mathbb N$ infatti: Sia $n_0 \in \mathbb{N}\$ e sia $I(n_0, r)$ un intorno di $n_0$ e di raggio $r$.
Allora dalla definizione abbiamo che $n_0 \in \mathbb{N}\$ è un punto isolato in $\mathbb N \ \Leftrightarrow\ \exists \ r \in \mathbb{R}\ : I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing$.
Poiché per $r = \frac 1 2$ risulta che $I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing$, deduciamo che $n_0$ è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

• Per l'insieme $S=\{0\}\cup [1, 2]$, il punto 0 è un punto isolato.

• Per l'insieme $S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}$, ciascun punto 1/k è un punto isolato, tranne il punto 0 che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme S vicini a 0 quanto desiderato.

• L'insieme N={0, 1, 2, ...} dei numeri naturali è un insieme discreto.

• L'insieme chiuso [a,b] è un insieme perfetto.

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