Punto isolato

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In topologia generale, un punto isolato per un insieme S è un punto che non ha altri punti di S "vicini".

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un punto x_0 appartenente ad un sottoinsieme  S in uno spazio topologico è un punto isolato di  S se esiste un intorno di x_0 non contenente altri punti di S.

Spazio metrico o euclideo[modifica | modifica wikitesto]

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), x_0 è un punto isolato di S se esiste una palla aperta centrata in x_0 che non contiene nessun elemento di  S diverso da x_0.

Definizioni equivalenti[modifica | modifica wikitesto]

In modo equivalente, un punto x_0 di  S non è un punto isolato se e solo se x_0 è un punto di accumulazione per  S .

Insieme discreto[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme S costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e S è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme \mathbb Q dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto[modifica | modifica wikitesto]

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni elemento di \mathbb N è isolato in \mathbb N infatti: Sia n_0 \in \mathbb{N}\ e sia I(n_0, r) un intorno di n_0 e di raggio r.
Allora dalla definizione abbiamo che n_0 \in \mathbb{N}\ è un punto isolato in \mathbb N \ \Leftrightarrow\ \exists \ r  \in \mathbb{R}\ : I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing .
Poiché per r = \frac 1 2 risulta che I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing , deduciamo che n_0 è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

  • Per l'insieme S=\{0\}\cup [1, 2], il punto 0 è un punto isolato.
  • Per l'insieme S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}, ciascun punto 1/k è un punto isolato, tranne il punto 0 che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme S vicini a 0 quanto desiderato.
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