Funzioni pari e dispari

In matematica, le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell'analisi matematica, in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier.

Funzioni pari

Sia $f(x)\;$ una funzione a valori reali di variabile reale. Allora $f\;$ è pari se per ogni $x\in \R\;$ vale l'equazione:

$f(x) = f(-x)\;$

Geometricamente, una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse $y\;$.

Il nome pari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione pari centrate nell'origine contengono solo potenze pari.

Esempi di funzioni pari sono $x^2, x^4, cos(x), cosh(x)\;$.

Funzioni dispari

Ancora sia $f(x)\;$ una funzione a valori reali di variabile reale. Allora $f\;$ è dispari se per ogni $x\in \R\;$ vale l'equazione:

$f(-x) = -f(x)\;$ , vale a dire $f(x)=-f(-x)\;$

Geometricamente, una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine degli assi, cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra cambiati di segno.

Il nome dispari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione dispari centrate nell'origine contengono solo potenze dispari.

Esempi di funzioni dispari sono $x, x^3, sen(x), senh(x)\;$.

Alcune informazioni

Mentre l'unione degli interi pari e dispari corrisponde all'intero insieme degli interi, l'unione delle funzioni pari e dispari su un intervallo è incluso propriamente nell'insieme delle funzioni su quell'intervallo.

Proprietà fondamentali

• l'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante $f(x)=0\;$
• in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio, $x+x^2\;$
• la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari
• la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari
• il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari
• il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
• il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari
• la derivata di una funzione pari è dispari
• la derivata di una funzione dispari è pari
• l'integrale su intervalli del tipo [-a,a] di una funzione dispari è 0
• l'integrale definito su intervalli del tipo [-a,a] di funzioni pari, ha come risultato il doppio dell'integrale calcolato solo nell'estremo superiore a.

Serie

• la serie di Taylor di una funzione pari contiene solo potenze pari
• la serie di Taylor di una funzione dispari contiene solo potenze dispari
• la serie di Fourier di una funzione periodica pari contiene solo termini coseno
• la serie di Fourier di una funzione periodica dispari contiene solo termini seno

Strutture algebriche

• ogni combinazione lineare di funzioni pari è pari, e le funzioni pari formano uno spazio vettoriale sui reali. Similarmente, ogni combinazione lineare di funzioni dispari è dispari, e anche le funzioni dispari formano uno spazio vettoriale sui reali.

Ogni funzione può essere scritta unicamente come somma di una funzione pari e di una funzione dispari:

$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}\;$

• le funzioni pari formano un'algebra commutativa sui reali. Tuttavia, le funzioni dispari non formano un campo sui reali.

• Le funzioni pari e dispari sono ortogonali fra loro.

Sia f pari e g dispari, allora:

$f \cdot g = \int_{- \infty} ^{+\infty} \bar f(x) g(x) dx ;$

ma il prodotto di una funzione pari e una dispari è una funzione dispari:

$h(x)=f(x) \cdot g(x) \rightarrow h(-x)=-h(x) ;$

e quindi:

$f \cdot g = \int_{- \infty} ^{+\infty} \bar f(x) g(x) dx =\int_{- \infty} ^{+\infty}h(x) dx= 0 ;$

Inoltre dato che l'unica funzione pari e dispari è f(x)=0 lo spazio delle funzioni pari è in somma diretta con quello delle funzioni dispari.

Voci correlate

• Serie di Taylor
• Serie di Fourier

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