Funzioni pari e dispari

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In matematica, le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell'analisi matematica, in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier.

Funzioni pari[modifica | modifica sorgente]

Sia  f(x)\; una funzione a valori reali di variabile reale. Allora f\; è pari se per ogni x\in \R\; vale l'equazione:

f(x) = f(-x)\;

Geometricamente, una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse y\;.

Il nome pari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione pari centrate nell'origine contengono solo potenze pari.

Esempi di funzioni pari sono x^2, x^4, cos(x), cosh(x)\;.

Funzioni dispari[modifica | modifica sorgente]

Ancora sia f(x)\; una funzione a valori reali di variabile reale. Allora f\; è dispari se per ogni x\in \R\; vale l'equazione:

f(-x) = -f(x)\; , vale a dire  f(x)=-f(-x)\;

Geometricamente, una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine degli assi, cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra cambiati di segno.

Il nome dispari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione dispari centrate nell'origine contengono solo potenze dispari.

Esempi di funzioni dispari sono x, x^3, sen(x), senh(x)\;.

Alcune informazioni[modifica | modifica sorgente]

Mentre l'unione degli interi pari e dispari corrisponde all'intero insieme degli interi, l'unione delle funzioni pari e dispari su un intervallo è incluso propriamente nell'insieme delle funzioni su quell'intervallo.

Proprietà fondamentali[modifica | modifica sorgente]

  • l'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante f(x)=0\;
  • in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio, x+x^2\;
  • la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari
  • la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari
  • il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari
  • il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
  • il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari
  • la derivata di una funzione pari è dispari
  • la derivata di una funzione dispari è pari
  • l'integrale su intervalli del tipo [-a,a] di una funzione dispari è 0
  • l'integrale definito su intervalli del tipo [-a,a] di funzioni pari, ha come risultato il doppio dell'integrale calcolato solo nell'intervallo [0,a].

Serie[modifica | modifica sorgente]

Strutture algebriche[modifica | modifica sorgente]

  • ogni combinazione lineare di funzioni pari è pari, e le funzioni pari formano uno spazio vettoriale sui reali. Similarmente, ogni combinazione lineare di funzioni dispari è dispari, e anche le funzioni dispari formano uno spazio vettoriale sui reali.

Ogni funzione può essere scritta unicamente come somma di una funzione pari e di una funzione dispari:

f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}\;
  • le funzioni pari formano un'algebra commutativa sui reali. Tuttavia, le funzioni dispari non formano un campo sui reali.
  • Le funzioni pari e dispari sono ortogonali fra loro.

Sia f pari e g dispari, allora:

 f \cdot g = \int_{- \infty} ^{+\infty} \bar f(x) g(x) dx ;

ma il prodotto di una funzione pari e una dispari è una funzione dispari:

 h(x)=f(x) \cdot g(x) \rightarrow h(-x)=-h(x) ;

e quindi:

 f \cdot g = \int_{- \infty} ^{+\infty} \bar f(x) g(x) dx =\int_{- \infty} ^{+\infty}h(x) dx= 0 ;

Inoltre dato che l'unica funzione pari e dispari è f(x)=0 lo spazio delle funzioni pari è in somma diretta con quello delle funzioni dispari.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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