Omeomorfismo

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Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modellizza l'idea intuitiva di "deformazione senza strappi".

La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia. Due spazi topologici X e Y collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali. In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un omeomorfismo fra due spazi topologici X e Y è una funzione continua f:X\to Y che è anche biunivoca e la cui inversa f^{-1}:Y\to X è anch'essa continua.[1]

Una definizione equivalente è la seguente: un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca f:X\to Y fra spazi topologici tale che un sottoinsieme A di X è aperto se e solo se lo è la sua immagine f(A) in Y. Brevemente, è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.

Se esiste un omeomorfismo tra X e Y, i due spazi sono detti omeomorfi. La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Intervalli della retta reale[modifica | modifica wikitesto]

Siano a<b due numeri reali. La funzione

f:[0,1] \to [a,b]
f:x \mapsto a + (b-a)x

è un omeomorfismo. Infatti è continua, biunivoca, e la sua inversa

f^{-1}:[a,b] \to [0,1]
f^{-1}:y\mapsto \frac{y-a}{b-a}

è anch'essa continua. Ogni intervallo chiuso e limitato [a,b] è quindi omeomorfo all'intervallo [0,1]. Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.

Si verifica analogamente che gli intervalli aperti (a,b) sono tutti omeomorfi fra loro. Non solo: un intervallo aperto è omeomorfo all'intera retta reale \R tramite la funzione tangente

 f:(-\pi/2,\pi/2) \to \R
 f:x \mapsto \tan x.

che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente). La limitatezza non è quindi un invariante topologico: uno spazio limitato come (0,1) può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come \R.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Due spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza...). Nel linguaggio della teoria delle categorie, si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M. Manetti, p. 45

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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