Omeomorfismo

Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modellizza l'idea intuitiva di "deformazione senza strappi".

La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia. Due spazi topologici $X$ e $Y$ collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali. In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.

Definizione

Un omeomorfismo fra due spazi topologici $X$ e $Y$ è una funzione continua $f:X\to Y$ che è anche biunivoca e la cui inversa $f^{-1}:Y\to X$ è anch'essa continua.

Una definizione equivalente è la seguente: un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca $f:X\to Y$ fra spazi topologici tale che un sottoinsieme $A$ di $X$ è aperto se e solo se lo è la sua immagine $f(A)$ in $Y$. Brevemente, è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.

Se esiste un omeomorfismo tra $X$ e $Y$, i due spazi sono detti omeomorfi. La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.

Esempi

Intervalli della retta reale

Siano $a<b$ due numeri reali. La funzione

$f:[0,1] \to [a,b]$

$f:x \mapsto a + (b-a)x$

è un omeomorfismo. Infatti è continua, biunivoca, e la sua inversa

$f^{-1}:[a,b] \to [0,1]$

$f^{-1}:y\mapsto \frac{y-a}{b-a}$

è anch'essa continua. Ogni intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ è quindi omeomorfo all'intervallo $[0,1]$. Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.

Si verifica analogamente che gli intervalli aperti $(a,b)$ sono tutti omeomorfi fra loro. Non solo: un intervallo aperto è omeomorfo all'intera retta reale $\R$ tramite la funzione tangente

$f:(-\pi/2,\pi/2) \to \R$

$f:x \mapsto \tan x.$

che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente). La limitatezza non è quindi un invariante topologico: uno spazio limitato come $(0,1)$ può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come $\R$.

Proprietà

Due spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza...). Nel linguaggio della teoria delle categorie, si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino 2006, ISBN 88-339-5548-6.

Voci correlate

• Omeomorfismo locale
• Omotopia
• Isomorfismo
• Omeomorfismo (teoria dei grafi)
• Diffeomorfismo

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