Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz, dai nomi dei matematici Augustin Louis Cauchy e Hermann Amandus Schwarz, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità. Negli spazi L^p, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia V uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

$|\langle x,y\rangle| \leq \left\|x\right\|\cdot\left\|y\right\|\ \forall x,y\in V$,

con l'uguaglianza che sussiste solo se x e y sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

Proprietà

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo n-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione

$|\langle x,y \rangle| = |x|\cdot|y||\cos \theta|$.

dove θ è l'angolo fra i due vettori x e y. Si estende quindi questa relazione ad un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori x e y come il $\theta \in [0,\pi]$ che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza, troviamo:

• il prodotto scalare (o hermitiano) è una funzione continua da V × V in R;
• la norma verifica la disuguaglianza triangolare;
• la disuguaglianza di Bessel.

Dimostrazione

La disuguaglianza risulta banalmente vera per y = 0, quindi assumiamo <y,y> diverso da zero. Sia $\lambda$ un numero complesso. Abbiamo:

$0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$

$= \langle x,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.$

Scegliendo

$\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$

otteniamo

$0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$

che vale se e solo se

$|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle$

o equivalentemente:

$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|.$

Dimostrazione algebrica

Sia $p(x)=(a_1+b_1x)^2+\ldots+(a_n+b_nx)^2$ un polinomio di secondo grado in x.

Chiaramente non ha radici reali, tranne nel caso in cui gli $a_i\mbox{ e i }b_i$ sono tutti uguali fra loro o se data una coppia $a_i\mbox{ e }b_i$ sussiste un legame di propozionalità (con stessa costante moltiplicativa) con le coppie $a_j\mbox{ e }b_j$ (e in tal caso $x=-\frac{a_i}{b_i}=-\frac{a_j}{b_j}=-\frac{n*a_i}{n*b_i}$).

Svolgendo le parentesi otteniamo

$p(x)=a_1^2+b_1^2x^2+2a_1b_1x+\ldots+a_n^2+b_n^2x^2+2a_nb_nx= \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)x^2+2\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)x+\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right).$

Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi

$\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\le0.$

da cui si ricava

$\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right).$

che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Esempi

• Nello spazio euclideo Rⁿ, otteniamo

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).$

• Nello spazio di Hilbert L² delle funzioni reali a quadrato integrabile, otteniamo

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.$

Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

• In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2.$

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