Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

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In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovskii, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.

Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.

Negli spazi Lp la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:

|\langle \mathbf x,\mathbf y\rangle| \leq \left\|\mathbf x\right\|\cdot\left\|\mathbf y\right\| \qquad \forall \mathbf x,\mathbf y\in V

con l'uguaglianza che sussiste solo se \mathbf x e \mathbf y sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).

In forma integrale:

\left| \int_a^b f(x) g(x) \ dx \right|^2 \leq \int_a^b f^2(x) \ dx \cdot \int_a^b g^2(x) \ dx

con f e g funzioni quadrato sommabile, che formano lo spazio di Hilbert L2. Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.

Nello spazio euclideo \R^n si ha:

\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)

In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:

\langle \mathbf x,\mathbf x\rangle \cdot \langle \mathbf y,\mathbf y\rangle = |\langle \mathbf x,\mathbf y\rangle|^2 + \left\|\mathbf x \times \mathbf y\right\|^2

dove l'operazione binaria \times:\R^3 \times \R^3 \to \R^3 indica il prodotto vettoriale

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo n-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.

Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:

|\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle| = \left\|\mathbf x \right\|\cdot\left\|\mathbf y\right\| \cdot |\cos \theta|

dove \theta = \widehat {\mathbf x \mathbf y} è l'angolo fra i due vettori \mathbf x e \mathbf y. Si estende quindi questa relazione ad un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori \mathbf x e \mathbf y come il  \theta \in [0,\pi] che realizza l'uguaglianza.

Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La disuguaglianza risulta banalmente vera per \mathbf y \mathbf = \mathbf 0, quindi si assume \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle diverso da zero. Sia  \lambda un numero complesso. Si ha:

 0 \leq \left\| \mathbf x-\lambda \mathbf y \right\|^2
= \langle \mathbf x-\lambda \mathbf y,\mathbf x-\lambda \mathbf y \rangle
 = \langle \mathbf x,\mathbf x \rangle - \overline\lambda \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle - \lambda \langle \mathbf y,\mathbf x \rangle + |\lambda|^2 \langle \mathbf y,\mathbf y\rangle

Scegliendo:

 \lambda = \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle \cdot \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}, e ricordando che |\lambda|^2 = \overline \lambda \lambda

si ottiene:

 0 \leq \langle \mathbf x,\mathbf x \rangle - \overline{\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle  \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}} \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle - \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1} \langle \mathbf y,\mathbf x \rangle + \overline{\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle  \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}} \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1} \langle \mathbf y,\mathbf y\rangle
 = \langle \mathbf x,\mathbf x \rangle - (\overline{\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle} \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle) \overline{\langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}} - \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle \langle \mathbf y,\mathbf x \rangle \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1} + (\overline{\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle} \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle) \overline{\langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}}  (\langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1} \langle \mathbf y,\mathbf y\rangle)
 = \langle \mathbf x,\mathbf x \rangle - |\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle|^2 \overline{\langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}} - \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle \overline{\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle} \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1} + |\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle|^2 \overline{\langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}} \cdot 1
 = \langle \mathbf x,\mathbf x \rangle - |\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle|^2 \cdot \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle^{-1}

che vale se e solo se:

 |\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle|^2 \leq \langle \mathbf x,\mathbf x \rangle \cdot \langle \mathbf y,\mathbf y \rangle

o equivalentemente:

 \big| \langle \mathbf x,\mathbf y \rangle \big|
\leq \left\|\mathbf x\right\| \left\|\mathbf y\right\|

Dimostrazione algebrica[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un polinomio di secondo grado in x del tipo:

p(x)=(a_1+b_1x)^2+\ldots+(a_n+b_nx)^2

che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli a_i e i b_i sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia a_i\mbox{ e }b_i sussiste un legame di propozionalità (con stessa costante moltiplicativa) con le coppie a_j\mbox{ e }b_j. In tal caso:

x=-\frac{a_i}{b_i}=-\frac{a_j}{b_j}=-\frac{n*a_i}{n*b_i}

Svolgendo le parentesi si ottiene:

p(x)=a_1^2+b_1^2x^2+2a_1b_1x+\ldots+a_n^2+b_n^2x^2+2a_nb_nx=
\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)x^2+2\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)x+\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)

Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:

 \left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\le0

da cui si ricava:

\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)

che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 8838606471.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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