Continuità uniforme

In analisi matematica, una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua. Intuitivamente una funzione $f$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto $x$ comporta una piccola variazione dell'immagine $f(x)$ (quindi $f$ è continua), e la misura della variazione di $f(x)$ dipende solo dalla misura della variazione di $x$, ma non dal punto $x$ stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice che è una proprietà locale. Infatti quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio. Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione

Funzione reale di variabile reale

Nel caso specifico di una funzione $f:I \to \mathbb{R}$, dove $I \subseteq \mathbb{R}$ è un intervallo, si dice che $f$ è uniformemente continua se per ogni numero reale $\varepsilon > 0$ esiste un numero reale $\delta > 0$, tale che per ogni $x_1, x_2 \in I$ con $|x_1 - x_2| < \delta$ (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha

$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$.

Diversamente dalla continuità semplice la distanza $\delta$ dipende quindi unicamente dalla distanza $\varepsilon$ e non dal punto $x_1$ o $x_2$.

Funzione di spazi metrici

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: Dati due spazi metrici $(X, d_X)$ e $(Y, d_Y)$, si dice che una funzione $f:X \to Y$ è uniformemente continua se

$\forall \epsilon > 0\ \exists \delta > 0\  : \quad \forall x_1, x_2 \in X, \quad d_X(x_1,x_2) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \epsilon$.

Esempi

Sono funzioni continue ma non uniformemente continue:

• La funzione

$f:(0,1) \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{1}{x}$

infatti per ogni $\delta > 0$ si possono trovare $x_1, x_2 \in (0,\delta)$ così che $|f(x_1) - f(x_2)|$ diventi addirittura arbitrariamente grande.

La funzione $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

• La funzione limitata

$f:(0,1) \to \mathbb{R},\ x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

perché in ogni intervallo $I := (0,\delta)$ si possono trovare $x_1, x_2 \in I$ con $|f(x_1) - f(x_2)| = 2$.

Sono funzioni uniformemente continue:

• La funzione costante
• La funzione identità
• Le funzioni lineari
• Le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (quindi le funzioni seno e coseno)

Condizioni necessarie o sufficienti per la continuità uniforme

Teorema di Heine-Cantor

Generalmente non ogni funzione continua è uniformemente continua, però nel caso specifico di un dominio compatto (per esempio un intervallo chiuso finito), il teorema di Heine-Cantor afferma che la continuità equivale alla continuità uniforme.

Lipschitzianità

Ogni funzione lipschitziana $f$ è uniformemente continua: dato $\varepsilon > 0$, si può scegliere $\delta := \varepsilon / K$, dove $K > 0$ è una costante di Lipschitz di $f$. Non vale il viceversa.

Esempio

Si prenda $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.

Essa non è lipschitziana in $\mathbb{R}$, ma lo è in qualunque intervallo del tipo $\left(-\infty,-a)\cup(a,\infty\right)$ (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto, $f(x)$ è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a 0 (ossia in un intervallo del tipo $\left[-a,a\right]$, complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di $f(x)$ (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che $f(x)$ è uniformemente continua in $\mathbb{R}$, pur non essendo lipschitziana.

Asintoti all'infinito

Se una funzione continua definita su un intervallo illimitato del tipo $A=[a,+\infty)$ ammette un asintoto (obliquo od orizzontale) allora è uniformemente continua.

Sottoinsiemi e sovrainsiemi

Una funzione uniformemente continua in un insieme X lo è anche in ogni sottoinsieme E di X; non vale il viceversa (si pensi a $f(x) = x^2$, che è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

Altre proprietà

L'immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

Voci correlate

• Spazio uniforme

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