Funzione semicontinua

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In analisi matematica, la semicontinuità di una funzione reale è una proprietà più debole della continuità. Intuitivamente, se una funzione continua in un punto è localmente limitata, una funzione semicontinua inferiormente (o superiormente) in un punto sarà localmente solo limitata inferiormente (o superiormente).

La definizione di semicontinuità, come quella di continuità, si può porre anche in uno spazio astratto come uno spazio topologico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Funzione semicontinua inferiormente. Essa non è semicontinua superiormente poiché il suo massimo limite in x_0 è uguale al limite destro
Funzione semicontinua superiormente

Una funzione f:X \to \R definita in uno spazio topologico si dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) in x_0 se per ogni \varepsilon >0 esiste un intorno U(x_0) tale che:

f(t)>f(x_0) - \varepsilon \

per ogni t in U(x_0). Equivalentemente, f si dice semicontinua inferiormente in x_0 se:

\liminf_{t \to x_{0}} f(t) \geq f(x_{0})

dove \liminf è il limite inferiore di f in x_0[1]. Una funzione semicontinua inferiormente ha dunque tutte le immagini definitamente sopra o vicino al valore f(x_0).

Una funzione f:X \to \R si dice semicontinua superiormente in x_0 (s.c.s.) se per ogni \varepsilon >0 esiste un intorno U(x_0) tale che:

f(t)<f(x_0) + \varepsilon \

per ogni t in U(x_0). Equivalentemente, f si dice semicontinua superiormente in x_0 se:

\limsup_{t \to x_{0}} f(t) \leq f(x_{0})

dove \limsup è il limite superiore di f in x_0. Una funzione semicontinua superiormente ha dunque tutte le immagini definitamente sotto o vicino al valore f(x_0).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente sia semicontinua superiormente.
  • Una funzione semicontinua inferiormente in un insieme compatto ammette minimo. Analogamente, una funzione semicontinua superiormente in un insieme compatto ammette massimo.
  • Se f e g sono semicontinue superiormente allora lo è anche f+g, e se entrambe sono non negative anche fg. Inoltre, se f è semicontinua superiormente, allora k f (con k < 0) è semicontinua inferiormente.
  • Se (f_i)_{i \in I} è una successione di funzioni semicontinue superiormente, allora la funzione definita come f(x)=\sup_{i \in I}f_i(x) è semicontinua superiormente.
  • L'inviluppo inferiore f_* di una qualsiasi funzione è semicontinuo superiormente; si ha che f è semicontinua superiormente se e solo se f=f_*.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ H.Brezis, Pag. 11

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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