Teorema fondamentale del calcolo integrale

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In matematica, il teorema fondamentale del calcolo integrale, anche detto teorema di Torricelli-Barrow, stabilisce un'importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni a valori reali di variabile reale.
In particolare dimostra che calcolare il valore dell'integrale di una funzione, a partire da un punto fisso a fino ad un punto variabile x del suo dominio, equivale esattamente a trovare una primitiva della funzione stessa.

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, e garantisce l'esistenza della primitiva per funzioni continue. La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

Una prima versione del teorema è dovuta a James Gregory,[1] mentre Isaac Barrow ne fornì una versione più generale.[2] Isaac Newton, studente di Barrow, e Gottfried Leibniz completarono successivamente lo sviluppo della teoria matematica in cui è ambientato il teorema.

Prima parte[modifica | modifica wikitesto]

Sia f\colon [a,b]\to\mathbb R una funzione integrabile. Si definisce funzione integrale di f la funzione F tale che:

F(x)=\int_a^x f(t)dt \qquad a \le x \le b

Se f è limitata, allora F è una funzione continua in [a,b].

Se inoltre f è una funzione continua in (a,b), allora F è differenziabile in tutti i punti in cui f è continua e si ha:[3]

F^\prime(x)=f(x)

cioè la F risulta essere una primitiva di f

Dimostrazione

Se f è integrabile in [a,b], allora vale la proprietà di additività dell'integrale. Si consideri, all'interno dell'intervallo [a,b] un piccolo intervallo [x-\epsilon, x+\epsilon] contenente il punto x generico. Si può scrivere:

F(x-\epsilon) =\int_{a}^{x-\epsilon} f(t)dt
F(x+\epsilon) =\int_{a}^{x-\epsilon} f(t)dt + \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f(t)dt

e quindi:

F(x+\epsilon) - F(x-\epsilon) = \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f(t)dt

Se f è limitata, allora esiste un valore M > f in modo che su tutto l'intervallo [a,b] si verifica:

F(x+\epsilon) - F(x-\epsilon) = \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f(t)dt < M \cdot 2 \epsilon

Ciò corrisponde alla definizione di continuità di F nel punto x, portando al limite per \epsilon  \to 0.

Se inoltre la funzione f è anche continua in un punto x, allora la funzione integrale F è differenziabile in quel punto e la sua derivata vale a F'(x)=f(x).

Si consideri infatti il rapporto incrementale di F:

\ {{F(x+h) - F(x)} \over {h}} = {{1} \over {h}} \left[ \, \int_{a}^{x+h} f(t)dt \ - \, \int_{a}^{x} f(t) dt \, \right]

Per la proprietà di additività dell'integrale, si può scrivere:

 {{1} \over {h}} \left[ \, \int_{a}^{x+h} \ - \, \int_{a}^{x} \, \right] ={{1} \over {h}} \left[ \, \int_{a}^{x} \, + \, \int_{x}^{x+h} \, - \, \int_{a}^{x} \, \right] \, = \, {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h}

Dal teorema della media integrale risulta che esiste un punto c_h, interno all'intervallo \ [x, x+h], tale che:

 {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt = f(c_{h})

Si ha dunque:

{{F(x+h)-F(x)} \over {h}}=\ {{1} \over {h}} \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt = f(c_{h})

Quando  h \to 0 si ha:

\lim_{h\rightarrow 0} c_{h} = x

poiché x\leq c_h\leq x+h. Inoltre, in forza della continuità di f, si ha:

\ \lim_{h \to 0} f(c_{h})= f ( \lim_{h \to 0} c_{h}) = f(x)

e si può concludere che:

\ F'(x) = \lim_{h \to 0} {{F(x+h)-F(x)} \over {h}} = f(x)
ovvero la tesi.

Seconda parte[modifica | modifica wikitesto]

Sia f\colon [a,b]\to\mathbb R una funzione che ammette una primitiva G su [a,b]. Sia cioè G(x) tale che:

G'(x) = f(x)

Se f è integrabile si ha:[4]

\int_a^b f(x)dx=G(b)- G(a)

Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

Dimostrazione

Si ponga ancora, come nella prima parte del teorema:

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt

in modo che sia:

F(b) = \int_a^b f(x) \, dx \qquad  F(a) = \int_a^a f(x) \, dx = 0 \qquad F(b)- F(a)= \int_a^b f(x) \, dx

dal teorema precedente si ottiene che:

F^\prime(x)=f(x)

Essendo G'(x) = f(x), si può scrivere:

F(x) = \int_a^x G^\prime(t) \, dt

e quindi anche:

F^\prime(x)=G^\prime(x)

Per la linearità dell'operazione di derivata si ottiene:

\frac d {dx} (F(x)-G(x)) = 0

per ogni x \in [a,b].

Grazie alle proprietà della derivata, esiste allora una costante c\in \mathbb R tale che F(x)-G(x)=c, ovvero:

F(x)=G(x)+ c

da cui si ottiene facilmente, sostituendo alla funzione integrale  F(x) la primitiva generica  G(x)+ c:

\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)= G(b)- G(a)

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Continuità assoluta.

La continuità assoluta è una condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue. Una funzione f definita sull'intervallo compatto [a,b] a valori in \R è assolutamente continua se possiede una derivata f' definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

 f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt \qquad \forall x \in [a,b]

In modo equivalente, esiste una funzione g su [a,b] integrabile secondo Lebesgue tale che:

 f(x) = f(a) + \int_a^x g(t) \, dt \qquad \forall x \in [a,b]

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

g=f' \

quasi ovunque.

Approcci differenti[modifica | modifica wikitesto]

Approccio fisico[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere un punto che si muove lungo una retta la cui posizione al tempo t è individuata dalla funzione F(t). In tal caso la velocità istantanea v(t) in ogni momento è pari alla derivata F'(t). Lo spazio percorso nell'intervallo di tempo che va da a a b è dato dalla differenza tra le posizioni occupate negli istanti a e b cioè F(b)-F(a). D'altra parte lo spazio percorso sarà anche uguale alla somma degli spazi percorsi in ogni istante. Se si divide l'intervallo di tempo in intervallini molto piccoli

[a,b]=\Delta t_1 \cup \dots \cup \Delta t_N

si può trattare il moto in ciascun intervallo di tempo come se la velocità fosse approssimativamente costante, quindi lo spazio percorso nell' i-esimo intervallo di tempo è:

\Delta s_i \sim v(t_i)\cdot \Delta t_i=F'(t_i)\cdot \Delta t_i

Lo spazio percorso in tutto l'intervallo di tempo [a,b] è uguale alla somma degli spazi percorsi in tutti gli intervalli di tempo \Delta t_i, cioè:

F(b)-F(a) = \Delta s_1+ \dots +\Delta s_N \sim F'(t_1)\cdot \Delta t_1+ \dots +F'(t_N)\cdot \Delta t_N

Inoltre, grazie alla definizione di integrale di Riemann, la somma al secondo membro tende a \int_a^b F'(t) dt quando gli intervalli di tempo considerati hanno lunghezze arbitrariamente piccole.

Approccio geometrico[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri preliminarmente una funzione F che abbia derivata sempre positiva. La derivata può essere vista geometricamente come coefficiente di dilatazione locale, cioè F'(x) è quel fattore di cui vengono espansi (o contratti) dalla funzione F tutti i segmenti che sono vicini al punto x: detta l la lunghezza, si ha che per ogni intervallo I vicino ad x si ha

l(f(I))\sim F'(x)\cdot l(I)

L'intervallo [a,b] viene mandato dalla funzione F (che in questo caso è monotona crescente) nell'intervallo [F(a),F(b)], la lunghezza dell'intervallo immagine è quindi F(b)-F(a). D'altra parte, si può calcolare questa lunghezza in quest'altro modo: dividiamo [a,b] in tanti piccoli intervalli disgiunti I_1,...,I_N cosicché la lunghezza complessiva dell'intervallo immagine sarà data dalla somma delle lunghezze delle immagine degli intervallini in cui lo abbiamo suddiviso (sempre perché F è monotona):

l([F(a),F(b)])=l(F(I_1))+l(F(I_2))+...+l(F(I_N))

consideriamo che la funzione F deforma ciascuno di questi intervallini di un fattore approssimativamente uguale alla derivata di F calcolata in un punto interno all'intervallo:

l(F(I_k))\sim F'(x_k)\cdot l(I_k)

quindi nel complesso abbiamo che

F(b)-F(a) \sim F'(x_1)\cdot l(I_1)+F'(x_2)\cdot l(I_2)+...+F'(x_N)\cdot l(I_N)

se prendiamo intervalli di lunghezza h arbitrariamente piccola l'espressione sulla destra converge all'integrale

\int_a^b F'(x) dx

L'idea quindi è che il calcolo dell'integrale di F'(x) ci dice quanto spazio percorriamo andando a sommare tutti i segmenti trasformati dalla funzione F, cioè la lunghezza complessiva dell'intervallo trasformato da F.

Il discorso appena fatto vale per il caso in cui si ha F'(x)>0 ovunque. Nel caso in cui abbiamo ovunque F'(x)<0 il discorso è simile con la differenza che l'orientamento degli intervalli viene invertito.

Nel caso generale in cui F'(x) può cambiare di segno si riconduce ai precedenti considerando separatamente gli intervalli in cui il segno della derivata rimane costante.

Approccio algebrico[modifica | modifica wikitesto]

Se abbiamo una somma \sum_{k=1}^N a_k e riusciamo a trovare una sequenza A_0,A_1,...,A_N tale che a_k=A_k-A_{k-1} allora grazie alla proprietà associativa dell'addizione la nostra somma si semplifica drasticamente:

\sum_{k=1}^N a_k=a_N+a_{N-1}+ ... +a_1 = (A_N-A_{N-1})+(A_{N-1}-A_{N-2})+...+(A_1-A_0)=A_N-A_0

cioè la somma si riduce alla differenza di A_k sugli "estremi" dell'insieme su cui varia k. Questo tipo di somme che si possono "accorciare" vengono chiamate somme telescopiche. L'analogia con la formula fondamentale del calcolo:

\int_a^b F^\prime(t)dt = F(b)-F(a)

non è casuale. Supponiamo di approssimare l'integrale della derivata F^\prime mediante una somma finita di aree di rettangolini di base lunga h={1 \over n} e altezza F ^\prime (x_k) immaginando di aver diviso l'intervallo [a,b] in n sottointervalli [x_k,x_{k+1}] lunghi \frac 1 n con x_0=a e x_n=b. L'integrale approssimato sarà dato dalla sommatoria:

\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)=h (F'(x_{n-1})+ \cdots +F'(x_0))

ora approssimiamo le derivate che compaiono nella sommatoria con i rapporti incrementali, dal momento che:

F'(x_k)\sim\frac{F(x_{k+1})-F(x_k)}{h}

rimpiazziamo queste quantità approssimate nella sommatoria:

\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)\sim h \left(\frac{F(x_n)-F(x_{n-1})}{h}+\frac{F(x_{n-1})-F(x_{n-2})}{h}+ \cdots +\frac{F(x_1)-F(x_0)}{h}\right)

semplificando si ottiene:

\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)\sim F(x_n)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+ \cdots +F(x_1)-F(x_0)

ed in conclusione, semplificando tutti gli addendi di segno opposto si ha:

\sum_{k=0}^{n-1} h F'(x_k)\sim F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a).

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

L'argomento appena presentato può essere usato (con piccoli ritocchi) per dimostrare la formula fondamentale del calcolo nel seguente modo:

consideriamo per ogni n un'approssimazione dell'integrale di Riemann di F^\prime(x) simile alla precedente ma in cui calcoliamo F^\prime su valori \bar{x}_k interni a ciascun intervallino [x_k,x_{k+1}]:

\sum_{k=0}^{n-1} h F'(\bar{x}_k)=h (F'(\bar{x}_{n-1})+ ... +F'(\bar{x}_0))

in cui \bar{x}_k è dato dal teorema di Lagrange applicato a F nell'intervallo [x_k,x_k+1], cioè h F^\prime(\bar{x}_k)=F(x_k)-F(x_{k+1}), allora - fatte le dovute semplificazioni - abbiamo

\sum_{k=0}^{n-1} h F'(\bar{x}_k)=F(x_n)-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})-F(x_{n-2})+...+F(x_1)-F(x_0)
\;=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a)

D'altra parte dalla definizione di integrale di Riemann l'integrale approssimato che abbiamo considerato deve convergere (se F^\prime è integrabile secondo Riemann) per n \to \infty all'integrale \int_a^b F^\prime(x) dx e dunque è dimostrata la formula fondamentale del calcolo.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema si può generalizzare in diverse direzioni.

Si possono considerare le estensioni della nozione di derivata in spazi euclidei a più dimensioni (il concetto di funzione differenziabile e di derivata parziale) e l'integrazione su varietà di forme differenziali. Gli analoghi del teorema fondamentale del calcolo in questo contesto sono il teorema di Ostrogradskij, il teorema di Kelvin e la loro generalizzazione: il teorema di Stokes.

In matematica, normalmente si considera la nozione di integrazione secondo Lebesgue. In questo contesto, il teorema fondamentale del calcolo diviene più generale e potente ed asserisce che l'integrale di una funzione sommabile è una funzione assolutamente continua (e pertanto differenziabile quasi ovunque), la cui derivata debole è l'integranda stessa. Naturalmente, nel caso in cui si assumano maggiori ipotesi di regolarità (per esempio, la continuità dell'integranda), si ottiene immediatamente il teorema fondamentale del calcolo di cui sopra.

Cambiando ancora la definizione di integrale coinvolto si ottengono versioni del teorema ancora più potenti: utilizzando il cosiddetto "integrale di gauge", definito in vari modi da Denjoy, Perron, Henstock e Kurzweil, infatti si può dimostrare che il secondo teorema vale senza alcuna ipotesi sulla funzione F^\prime.

Si può considerare anche la nozione di derivabilità e integrabilità sul piano complesso (vedi le funzioni olomorfe e meromorfe), in questo caso gli analoghi del teorema fondamentale del calcolo sono il teorema integrale di Cauchy e il teorema dei residui).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
  2. ^ The geometrical lectures of Isaac Barrow, translated, with notes and proofs, and a discussion on the advance made therein on the work of his predecessors in the infinitesimal ...
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 130
  4. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 131

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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