Grafico di una funzione

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Rappresentazione visiva del grafico di una funzione cubica su \R:
y=x^3-9x
Rappresentazione visiva del grafico di:
f(x, y) = \sin(x^2)\cos(y^2)

In matematica, il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione f \colon X \to Y, si definisce grafico di f il sottoinsieme del prodotto cartesiano X \times Y dato da:[1]

G(f):=\big\{(x,y)\,:\,x \in X,\,y=f(x)\big\}.

Per una funzione reale di variabile reale f \colon E \subset \R \to \R, il grafico G(f) è il sottinsieme di \R^2 dato da \{(x,y) \in \R^2 : y = f(x)\}. Per funzioni continue su un intervallo il grafico può essere visto come una curva in \R^2; la curva è inoltre «liscia» sugli intervalli in cui la funzione è regolare (ossia differenziabile).

Nel caso di una funzione reale di due variabili reali f \colon \Omega \subset \R^2 \to \R definita su un sottinsieme del piano x-y, il grafico è dato da:

G := \{ (x,y,z) \in \R^3 : z = f(x,y) \}

La sua rappresentazione è tridimensionale per cui ad ogni punto del piano corrisponde un'ordinata z = f(x,y) nello spazio. In alternativa si può usare il metodo delle curve di livello. In tal caso le curve di livello della funzione z=f(x,y) sono date dall'insieme:

C := \{ f(x,y)  :  f(x,y) = k \}

dove k è una costante in generale intera. La sua rappresentazione è quindi una famiglia di curve in cui ogni curva rappresenta un'altezza diversa del grafico. In pratica le curve sono le curve di intersezione del grafico z = f(x,y) con i vari piani z = k.

Il teorema del grafico chiuso[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema del grafico chiuso.

Si supponga che X e Y siano spazi di Banach, e che T:X\to Y sia un operatore lineare. Il teorema del grafico chiuso afferma che T è continuo (e dunque limitato) se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio X \times Y dotato della topologia prodotto.

La restrizione sul dominio è necessaria a causa dell'esistenza di operatori lineari chiusi illimitati, che non sono necessariamente continui.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 83

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

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