Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Significato geometrico del teorema di Cauchy.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Siano f, g : [a,b] \to \mathbb{R} due funzioni reali di variabile reale continue in [a,b] e derivabili in (a,b).

Allora esiste un punto c\in (a,b) tale che

[g(b)-g(a)]f^{\prime}(c) = [f(b) - f(a)]g^{\prime}(c).[1]

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica sorgente]

Si consideri la funzione di variabile reale h definita nell'intervallo [a,b] come

h(t) = [f(b)-f(a)]g(t) - [g(b)-g(a)]f(t)\quad

Questa funzione è continua nell'intervallo [a,b] e derivabile in (a,b), e

h(a) = [f(b)-f(a)]g(a) - [g(b)-g(a)]f(a) =
 f(b)g(a) - f(a)g(a) - f(a)g(b) + f(a)g(a) = 
f(b)g(a) - f(a)g(b).
h(b) = [f(b)-f(a)]g(b) - [g(b)-g(a)]f(b) = 
f(b)g(b) - f(a)g(b) - f(b)g(b) + f(b)g(a) = 
-f(a)g(b) + f(b)g(a).

Da cui h(a)=h(b).

La funzione h soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto c \in (a,b) in cui h'(c)=0, cioè

[f(b)-f(a)]g'(c) - [g(b)-g(a)]f'(c) = 0.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

  • Considerando in particolare la funzione g(t)=t, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
  • Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ P. M. Soardi, op. cit., p. 222

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica