Matrice jacobiana

Nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale con funzioni a molteplici variabili e molteplici valori, la matrice di Jacobi (d'ora in avanti semplicemente jacobiana) è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo. La sua importanza è legata al fatto che rappresenta la migliore approssimazione lineare di una funzione differenziabile vicino ad un punto dato. In questo senso, la jacobiana è simile alla derivata, ed estende tale nozione alle funzioni multivariate.

Definizione

Sia $\mathbf{f}: U \rightarrow \mathbb R^m$ una funzione definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb R^n$. La funzione è detta differenziabile in un punto $\mathbf{x}_0$ del dominio se esiste una applicazione lineare $\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ tale che valga l'approssimazione:

$\mathbf{f}(\mathbf{x}_0+ \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x})$

dove il resto $\mathbf r(\Delta\mathbf{x})$ si annulla all'annullarsi dell'incremento $\Delta\mathbf{x}$. Se la funzione $\mathbf{f}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono.

Si definisce matrice jacobiana $Jf \in \mathbb R^{mn}$ di $f$ in $\mathbf x_0$ la matrice associata all'applicazione lineare $\mathbf L(\mathbf x_0)$ rispetto alle basi canoniche di $\mathbb R^n$ e $\mathbb R^m$, quindi il corrispondente operatore:

$\operatorname (Jf)_{ij} = \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \qquad \operatorname J_{ij} = \frac{\partial_i}{\partial x_j}$

In particolare, dette:

$\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}$

le basi canoniche di $\mathbb R^n$ e $\mathbb R^m$ rispettivamente, il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

$Jf \cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i$

E dunque si ha:

$Jf \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x}$

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se $m = 1$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $f$ in $\mathbf x_0$. In tal caso si ha:

$L(\mathbf x ) = \nabla f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se $n = 1$, la funzione $f$ parametrizza una curva in $\mathbb R^m$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se $m = n = 1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Jacobiano

Se m = n, allora f è una funzione dallo spazio n-dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Possiamo allora calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto dà importanti informazioni circa il comportamento di f vicino a questo punto. Per esempio, la funzione f differenziabile con continuità è invertibile vicino a x₀ se lo jacobiano in x₀ è non nullo: questo è il teorema della funzione inversa. Per di più, se lo jacobiano in x₀ è positivo, allora f preserva l'orientazione vicino a x₀; se il determinante è negativo, f inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in x₀ ci dà il fattore del quale la funzione f espande o riduce i volumi vicino a x₀; per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio

Lo jacobiano della funzione $f: \R^3 \to \R^3\!$ con componenti:

$f_1 = 5\cdot x_2 \!$

$f_2 = 4\cdot x_1^2 - 2 \cdot \sin(x_2 \cdot x_3)\!$

$f_3 = x_2 \cdot x_3\!$

è:

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2$

Da questo vediamo che f inverte l'orientazione vicino a quei punti dove x₁ e x₂ hanno lo stesso segno; la funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da x₁=0 e da x₂=0. Se inizi con un piccolo volume in un intorno del punto (1,1,1) e applichi f a tale volume, ottieni un volume 40 volte superiore all'originale.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice hessiana

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