Matrice jacobiana

In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o jacobiana, il cui nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi, è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo.

La sua importanza è legata al fatto che rappresenta la migliore approssimazione lineare di una funzione differenziabile vicino ad un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni di più variabili.

Definizione

Sia $\mathbf{f}: U \rightarrow \mathbb R^m$ una funzione definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb R^n$. La funzione è detta differenziabile in un punto $\mathbf{x}_0$ del dominio se esiste una applicazione lineare $\mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$ tale che valga l'approssimazione:

$\mathbf{f}(\mathbf{x}_0+ \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x})$

dove il resto $\mathbf r(\Delta\mathbf{x})$ si annulla all'annullarsi dell'incremento $\Delta\mathbf{x}$. Se la funzione $\mathbf{f}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$, allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono.

Si definisce matrice jacobiana $J_f \in \mathbb R^{mn}$ di $f$ in $\mathbf x_0$ la matrice associata all'applicazione lineare $\mathbf L(\mathbf x_0)$ rispetto alle basi canoniche di $\mathbb R^n$ e $\mathbb R^m$:

$\operatorname J_f =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\qquad \operatorname (J_f)_{ij} = \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \qquad \operatorname J_{ij} =\frac{\partial_i}{\partial x_j}$

In particolare, dette:

$\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}$

le basi canoniche di $\mathbb R^n$ e $\mathbb R^m$ rispettivamente, il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

$J_f \cdot \mathbf e_j = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i$

E dunque si ha:

$J_f \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x}$

Casi notevoli

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se $m = 1$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $f$ in $\mathbf x_0$. In tal caso si ha:

$L(\mathbf x ) = \nabla f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f (\mathbf {x})}{\partial x_j} \mathbf e_i$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se $n = 1$, la funzione $f$ parametrizza una curva in $\mathbb R^m$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se $m = n = 1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Jacobiano

Se $m = n$, allora $f$ è una funzione dallo spazio $n$-dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di $f$ nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione $f$ differenziabile con continuità è invertibile vicino a $\mathbf x_0$ se lo jacobiano in $\mathbf x_0$ è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in $\mathbf x_0$ è positivo $f$ preserva l'orientazione vicino a $\mathbf x_0$, mentre se il determinante è negativo $f$ inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in $\mathbf x_0$ fornisce il fattore del quale la funzione $f$ espande o riduce i volumi vicino a $\mathbf x_0$: per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio

Lo jacobiano della funzione $f: \R^3 \to \R^3$ con componenti:

$f_1 = 5\cdot x_2$

$f_2 = 4\cdot x_1^2 - 2 \cdot \sin(x_2 \cdot x_3)$

$f_3 = x_2 \cdot x_3$

è:

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2$

Da questo vediamo che f inverte l'orientazione vicino a quei punti dove x₁ e x₂ hanno lo stesso segno; la funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da x₁=0 e da x₂=0. Se inizi con un piccolo volume in un intorno del punto (1,1,1) e applichi f a tale volume, ottieni un volume 40 volte superiore all'originale.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice hessiana

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