Matrice jacobiana

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In analisi matematica, in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale, la matrice di Jacobi o matrice jacobiana di una funzione che ha dominio e codominio in uno spazio euclideo è la matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione. Il nome è dovuto a Carl Gustav Jacob Jacobi.

La sua importanza è legata al fatto che, nel caso la funzione sia differenziabile, la jacobiana rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione vicino ad un punto dato. In questo senso la jacobiana permette di generalizzare il concetto di derivata estendendo tale nozione alle funzioni di più variabili.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia \mathbf{f}: U \rightarrow \mathbb R^m una funzione definita su un insieme aperto U dello spazio euclideo  \mathbb R^n . La matrice jacobiana della funzione J \, {\mathbf f} in \mathbf x = (x_1, \dots, x_n) è la matrice delle derivate parziali prime della funzione calcolate in \mathbf x:

J \, \mathbf f = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}\qquad \operatorname (J \, \mathbf f)_{ij} = \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j}

Risulta quindi il prodotto tensoriale fra l'operatore differenziale vettoriale nabla e la funzione stessa:

\operatorname  J_{j} =\frac{\partial}{\partial x_j} \qquad (J = \nabla)

In particolare, dette:

\{\mathbf e_j\}_{1 \le j \le n} \qquad \{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m}

le basi canoniche di  \mathbb R^n e  \mathbb R^m rispettivamente, il j-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato da:

\frac{\partial}{\partial x_j} \, ( \mathbf f \cdot \mathbf e_j) = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf u_i

dove il punto denota il prodotto scalare.

La jacobiana non è tuttavia una semplice rappresentazione matriciale delle derivate pariaziali. La funzione \mathbf f è detta differenziabile in un punto \mathbf x' del dominio se esiste una applicazione lineare \mathbf{L}:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m tale che valga l'approssimazione:[1]

\mathbf{f}(\mathbf x' + \Delta\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf x') = \mathbf{L}(\mathbf x')\Delta\mathbf{x} + \mathbf r(\Delta \mathbf{x})

dove il resto \mathbf r(\Delta\mathbf{x}) si annulla all'annullarsi dell'incremento \Delta\mathbf{x}. Se la funzione \mathbf{f} è differenziabile in \mathbf x', allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono. La jacobiana J_{\mathbf f(\mathbf x')} di f in \mathbf x' è la matrice associata all'applicazione lineare \mathbf L(\mathbf x') rispetto alle basi canoniche di  \mathbb R^n e  \mathbb R^m :[2]

\mathbf{L}(\mathbf x')\Delta\mathbf{x} = J \, {\mathbf f(\mathbf x')} \cdot \Delta\mathbf{x} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i (\mathbf x')}{\partial x_j} \Delta x_j \right] \cdot \mathbf u_i = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix} \cdot \Delta \mathbf{x}

La jacobiana estende così il concetto di derivata di una funzione reale (complessa) in una (due) variabili al caso di una funzione definita in \R^n.

Casi notevoli[modifica | modifica sorgente]

A seconda delle dimensioni  m e  n , la jacobiana ha diverse interpretazioni geometriche:

  • Se  m = 1 , la jacobiana si riduce ad un vettore n-dimensionale, chiamato gradiente di f in \mathbf x. In tal caso si ha:
 L(\mathbf x ) = \nabla f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f (\mathbf {x})}{\partial x_j} \cdot \mathbf e_i
Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
  • Se  n = 1 , la funzione f parametrizza una curva in \mathbb R^m, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
  • Se  m = n = 1 , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Diverse combinazioni lineari di derivate parziali risultano molto importanti nell'ambito delle equazioni differenziali che coinvolgono una funzione vettoriale da \R^n in sé. In particolare, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio, e consente di calcolare il flusso del campo attraverso il teorema della divergenza. Il rotore di un campo vettoriale, inoltre, ne descrive la rotazione infinitesima associando ad ogni punto dello spazio un vettore. Tale vettore è allineato con l'asse di rotazione, il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza quantifica l'entità della rotazione.

Jacobiano[modifica | modifica sorgente]

Se m = n, allora f è una funzione dallo spazio n-dimensionale in sé e la jacobiana è una matrice quadrata. Si può in tal caso calcolare il suo determinante, noto come jacobiano.

Lo jacobiano in un dato punto fornisce importanti informazioni circa il comportamento di f nell'intorno del punto. Per esempio, una funzione f differenziabile con continuità è invertibile vicino a \mathbf x' se lo jacobiano in \mathbf x' è non nullo, come stabilisce il teorema della funzione inversa. Inoltre, se lo jacobiano in \mathbf x' è positivo f preserva l'orientazione vicino a \mathbf x', mentre se il determinante è negativo f inverte l'orientazione.

Il valore assoluto dello jacobiano in \mathbf x' fornisce il fattore del quale la funzione f espande o riduce i volumi vicino a \mathbf x': per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Lo jacobiano della funzione  f: \R^3 \to \R^3 con componenti:

f_1 = 5\cdot x_2
f_2 = 4\cdot x_1^2 - 2 \cdot \sin(x_2 \cdot x_3)
f_3 = x_2 \cdot x_3

è:

\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

Da questo si vede che f inverte l'orientazione vicino a quei punti dove x_1 e x_2 hanno lo stesso segno. La funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da x_1 = 0 e da x_2 = 0. Se si inizia con un piccolo volume in un intorno del punto (1,1,1) e si applica f a tale volume, si ottiene un volume 40 volte superiore all'originale.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 213
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 217

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • F.R. Gantmakher, M.G. Krein, Oscillation matrices and kernels and small vibrations of mechanical systems, Dept. Commerce USA. Joint Publ. Service (1961)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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