Funzione integrabile

In matematica, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito.

I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue.

Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Integrale di Lebesgue

Per approfondire, vedi la voce Integrale di Lebesgue.

Dato uno spazio di misura $(X,\mathcal A,\mu)$, una funzione semplice $s$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.

$s:X \to \R, s(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x)$

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

$\int_X s(x)d\mu:=\sum_{k=1}^n a_k \mu(A_k)$

Una funzione $f:X\to \R$ non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:

$\sup_s \int_X s(x)d\mu =:\int_X f(x)d\mu \$

dove $s$ è una arbitraria funzione semplice tale che $s \le f$. L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura $\mu$, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^1(\mu)$.

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

$f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{se} \quad f(x) \geq 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.$

$f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{se} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.$

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di $f$.

Si definisce in tal caso:

$\int_X f(x)d\mu :=\int_X f^+(x)d\mu - \int_X f^-(x)d\mu \,$

Integrale di Riemann

Per approfondire, vedi la voce Integrale di Riemann.

Una funzione $f:[a,b]\to \R$ limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

$\lim_{\delta \to 0} S(f,P,\{t_i\})=:\int_a^b f(x)dx$

dove $P=\{x_1...,x_n\}$ è una arbitraria partizione dell'intervallo $[a,b]$ con mesh minore di $\delta$, $t_i \in [x_{i-1},x_i]$ e:

$S(f,P,\{t_i\})=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che per ogni partizione di $[a,b]$ con mesh minore di $\delta$ e per ogni scelta dei relativi punti $t_i$ vale:

$\left|\int_a^b f(x)dx - S(f,P,\{t_i\})\right| < \varepsilon$

Altri tipi di integrali

• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Integrale di Bochner
• Integrale di Darboux
• Integrale di Daniell
• Integrale di Itō
• Integrale di Henstock-Kurzweil

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• Integrale
• Funzione localmente integrabile
• Funzione a quadrato sommabile
• Spazio Lp

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