Funzione semplice

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In matematica, specialmente in analisi matematica, una funzione semplice è una funzione misurabile la cui immagine è finita.

Le funzioni semplici sono usate come primo passo nello sviluppo della teoria dell'integrazione, come nell'integrale di Lebesgue, poiché è molto semplice creare una definizione di integrale per una funzione semplice, e inoltre è molto semplice approssimare funzioni generali con una successione di funzioni semplici.

Un esempio di funzione semplice è la funzione di Dirichlet, la funzione caratteristica dei numeri razionali, che assume il valore 1 sull'insieme misurabile \mathbb{Q} e il valore 0 sull'insieme misurabile \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Formalmente, una funzione semplice f è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.[1]

Siano i numeri reali o complessi a_1, \dots a_n i valori assunti dalla funzione semplice f e sia:

A_i = \{x : f(x) = a_i \} \

Allora:[1]

f(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x)

dove {\mathbf 1}_{A_k}(x) è la funzione indicatrice relativa all'insieme A_i per ogni i.

Proprietà delle funzioni semplici[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione, la somma, la differenza e il prodotto di due funzioni semplici è ancora una funzione semplice, come anche la moltiplicazione per una costante, quindi segue che l'insieme di tutte le funzioni semplici forma una algebra commutativa sul campo complesso.

Per lo sviluppo delle teoria dell'integrazione, è importante il seguente risultato. Ogni funzione non negativa misurabile f\colon X \to\mathbb{R}^{+} è il limite puntuale di una successione monotona crescente di funzioni semplici non negative.

Quindi, sia f una funzione misurabile non negativa definita su uno spazio di misura (\Omega, {\mathcal F},\mu). Per ogni n\in\mathbb N, si suddivida l'immagine di f in 2^{2n}+1 intervalli, i primi 2^{2n} dei quali (partendo dall'origine) di lunghezza 2^{-n}. Si definisce:

I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n} \right)

per k=1,2,\ldots,2^{2n} e I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty]. Quindi la successione crescente di funzioni semplici:

f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}}

converge puntualmente a f con n\to\infty. Si noti che quando f è limitata la convergenza è anche uniforme.

Integrazione di funzioni semplici[modifica | modifica sorgente]

Se si è definita una misura \mu sullo spazio (X,\Sigma), l'integrale di f rispetto a \mu è:

\sum_{k=1}^na_k\mu(A_k)

se tutti gli addendi sono finiti.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b W. Rudin, op. cit., Pag. 15

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
  • S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
  • H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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