Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale In matematica , nel campo della teoria degli insiemi , se
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
funzione indicatrice , o funzione caratteristica di
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
1
{\displaystyle 1}
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
0
{\displaystyle 0}
La funzione indicatrice di un sottoinsieme
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
1
A
:
X
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace }
definita come
1
A
(
x
)
=
{
1
se
x
∈
A
0
se
x
∉
A
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A\end{matrix}}\right.}
La funzione indicatrice di
A
{\displaystyle A}
χ
A
(
x
)
{\displaystyle \chi _{A}(x)}
I
A
(
x
)
.
{\displaystyle I_{A}(x).}
La funzione che associa un sottoinsieme
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
1
A
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}}
iniettiva ; il suo codominio è l'insieme delle funzioni
f
:
X
→
{
0
,
1
}
.
{\displaystyle \mathbf {f} \colon X\to \{0,1\}.}
Se
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
X
,
{\displaystyle X,}
1
A
∩
B
=
min
{
1
A
,
1
B
}
=
1
A
1
B
e
1
A
∪
B
=
max
{
1
A
,
1
B
}
=
1
A
+
1
B
−
1
A
1
B
.
{\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}\qquad {\mbox{e}}\qquad \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.}
Più in generale, supponiamo che
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
X
.
{\displaystyle X.}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
∏
k
=
1
n
(
1
−
1
A
k
(
x
)
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}
è chiaramente un prodotto di
0
{\displaystyle 0}
1.
{\displaystyle 1.}
1
{\displaystyle 1}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
0
{\displaystyle 0}
∏
k
=
1
n
(
1
−
1
A
k
)
=
1
X
−
⋃
k
A
k
=
1
−
1
⋃
k
A
k
.
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}
Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,
1
⋃
k
A
k
=
1
−
∑
F
⊆
{
1
,
2
,
…
,
n
}
(
−
1
)
|
F
|
1
⋂
F
A
k
=
∑
∅
≠
F
⊆
{
1
,
2
,
…
,
n
}
(
−
1
)
|
F
|
+
1
1
⋂
F
A
k
{\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}
Dove
|
F
|
{\displaystyle |F|}
F
.
{\displaystyle F.}
principio di inclusione-esclusione .
Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria . La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità : se
X
{\displaystyle X}
spazio di probabilità con misura di probabilità
P
{\displaystyle P}
A
{\displaystyle A}
insieme misurabile , allora
1
A
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}}
variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di
A
:
{\displaystyle A:}
E
(
1
A
)
=
∫
X
1
A
(
x
)
d
P
=
∫
A
d
P
=
P
(
A
)
.
{\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).}
Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della disuguaglianza di Markov .
Se
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
1
A
(
x
)
=
1
X
+
(
x
)
=
s
g
n
(
s
g
n
(
x
)
+
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\mathbf {1} _{X^{+}}(x)=\mathrm {sgn} \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right).}
In analisi convessa , una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi , spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione , si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una
χ
A
:
X
→
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle \chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
χ
A
(
x
)
:=
{
0
,
x
∈
A
;
+
∞
,
x
∉
A
.
{\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}
Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:
1
A
(
x
)
=
1
1
+
χ
A
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}}
e
χ
A
(
x
)
=
(
+
∞
)
(
1
−
1
A
(
x
)
)
{\displaystyle \chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right)}
relazioni valide ponendo per convenzione
1
0
=
+
∞
{\displaystyle {1 \over 0}=+\infty }
1
+
∞
=
0
{\displaystyle {1 \over +\infty }=0}
