Funzione indicatrice

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Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se A è un sottoinsieme dell'insieme X, la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di A è quella funzione da X all'insieme \{ 0, 1 \} che sull'elemento x \in X vale 1 se x appartiene ad A, e vale 0 in caso contrario.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione indicatrice di un sottoinsieme A di X è una funzione

\mathbf{1}_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace

definita come

\mathbf{1}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{se}\ x \in A \\
0 &\mbox{se}\ x \notin A
\end{matrix}\right.

La funzione indicatrice di A è talvolta indicata con

\chi_A(x) \qquad \mbox{o} \qquad I_A(x).

Proprietà fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

La mappa che associa un sottoinsieme A di X alla sua funzione indicatrice 1A è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni f:X →{0,1}.

Se A e B sono due sottoinsiemi di X, allora

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B \qquad \mbox{e} \qquad \mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B.

Più in generale, supponiamo che A1, ..., An sia una collezione di sottoinsiemi di X. Per ogni xX,

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

è chiaramente un prodotto di zeri e uni. Questo prodotto ha il valore 1 proprio in corrispondenza degli xX che non appartengono a nessuno degli insiemi Ak ed è 0 altrove. Cioè

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

 \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

Dove |F| è la cardinalità di F. Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se X è uno spazio di probabilità con misura di probabilità P e A è un insieme misurabile, allora 1A diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di A:

E(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A).\quad

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della diseguaglianza di Markov.

Se A è l'insieme di tutti i numeri positivi di X compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

\mathbf{1}_A(x)=\mathbf{1}_{X^+}(x)=\mathrm{sgn}\left(\mathrm{sgn}(x)+1\right)

Analisi convessa[modifica | modifica wikitesto]

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una \chi_A:X \to \R \cup \{-\infty , +\infty\} tale che

\chi_{A} (x) := \begin{cases} 0, & x \in A; \\ + \infty, & x \not \in A. \end{cases}

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

\mathbf{1}_{A} (x) = \frac{1}{1 + \chi_{A} (x)}

e

\chi_{A} (x) = (+ \infty) \left( 1 - \mathbf{1}_{A} (x) \right)

relazioni valide ponendo per convenzione {1 \over 0}=+\infty e {1 \over +\infty}=0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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