Funzione indicatrice

Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se $A$ è un sottoinsieme dell'insieme $X$, la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di $A$ è quella funzione da $X$ all'insieme $\{ 0, 1 \}$ che sull'elemento $x \in X$ vale 1 se $x$ appartiene ad A, e vale 0 in caso contrario.

Definizione

La funzione indicatrice di un sottoinsieme A di X è una funzione

$1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace$

definita come

$1_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{se}\ x \in A \\ 0 &\mbox{se}\ x \notin A \end{matrix}\right.$

La funzione indicatrice di A è talvolta indicata con

$\chi_A(x) \qquad \mbox{o} \qquad I_A(x).$

Proprietà fondamentali

La mappa che associa un sottoinsieme A di X alla sua funzione indicatrice 1_A è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni f:X →{0,1}.

Se A e B sono due sottoinsiemi di X, allora

$1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B \qquad \mbox{e} \qquad 1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B.$

Più in generale, supponiamo che A₁, ..., A_n sia una collezione di sottoinsiemi di X. Per ogni x ∈ X,

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x))$

è chiaramente un prodotto di zeri e uni. Questo prodotto ha il valore 1 proprio in corrispondenza degli x ∈ X che non appartengono a nessuno degli insiemi A_k ed è 0 altrove. Cioè

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}$

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

$1_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} 1_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} 1_{\bigcap_F A_k}$

Dove |F| è la cardinalità di F. Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se X è uno spazio di probabilità con misura di probabilità P e A è un insieme misurabile, allora 1_A diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di A:

$E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A).\quad$

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della diseguaglianza di Markov.

Analisi convessa

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una $\chi_A:X \to \R \cup \{-\infty , +\infty\}$ tale che

$\chi_{A} (x) := \begin{cases} 0, & x \in A; \\ + \infty, & x \not \in A. \end{cases}$

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

$\mathbf{1}_{A} (x) = \frac{1}{1 + \chi_{A} (x)}$

e

$\chi_{A} (x) = (+ \infty) \left( 1 - \mathbf{1}_{A} (x) \right)$

relazioni valide ponendo per convenzione ${1 \over 0}=+\infty$ e ${1 \over +\infty}=0$.

Voci correlate

• Parentesi di Iverson

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