Funzione gradino

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In matematica, una funzione reale si dice funzione a gradino o funzione a gradinata o funzione a scala se è costante a tratti.

Ad esempio, la funzione seguente è a gradino:

F:\R \to [0,1], x \mapsto \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 0,2 & x \in [0,2)  \\ 0,6 & x \in [2,4) \\ 1 & x \geq 4\end{cases}

In generale, detta A_i=[x_i,x_{i+1}), i \in I, -\infty \leq x_i \leq + \infty una partizione (finita o infinita a seconda della cardinalità di I) del dominio, allora f:A \subseteq \R \to \R è detta a gradino se esistono \alpha_1,...,\alpha_n, ... \in \R tali che:

f(x)=\sum_{i \in I} \alpha_i \cdot \chi_{A_i}(x)

dove \chi_{A_i}(x) è la funzione indicatrice dell'insieme A_i, cioè

f_{/A_i} (x) = \alpha_i per ogni x in A_i.

Una funzione a gradino non è altro che una combinazione lineare di funzioni indicatrici.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione a gradino non è generalmente continua, come è facile notare, ma è comunque continua quasi ovunque (possiede un numero finito o numerabile di discontinuità) e dunque è integrabile alla Riemann; il suo integrale è

\int f(x)dx= \sum_{i \in I} \alpha_i \cdot (x_{i+1}-x_i),

cioè, come è immaginabile, l'area sottesa è la somma delle aree dei singoli rettangolini di base (x_{i+1}-x_i) e altezza \alpha_i.

Dall'integrale di particolari funzioni a gradino Riemann partirà poi per la costruzione del suo integrale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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