Funzione gradino

In matematica, una funzione reale si dice funzione a gradino o funzione a gradinata o funzione a scala se è costante a tratti.

Ad esempio, la funzione seguente è a gradino:

$F:\R \to [0,1], x \mapsto \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 0,2 & x \in [0,2) \\ 0,6 & x \in [2,4) \\ 1 & x \geq 4\end{cases}$

In generale, detta $A_i=[x_i,x_{i+1}), i \in I, -\infty \leq x_i \leq + \infty$ una partizione (finita o infinita a seconda della cardinalità di $I$) del dominio, allora $f:A \subseteq \R \to \R$ è detta a gradino se esistono $\alpha_1,...,\alpha_n, ... \in \R$ tali che:

$f(x)=\sum_{i \in I} \alpha_i \cdot \chi_{A_i}(x)$

dove $\chi_{A_i}(x)$ è la funzione indicatrice dell'insieme $A_i$, cioè

$f_{/A_i} (x) = \alpha_i$ per ogni x in $A_i$.

Una funzione a gradino non è altro che una combinazione lineare di funzioni indicatrici.

Proprietà

Una funzione a gradino non è generalmente continua, come è facile notare, ma è comunque continua quasi ovunque (possiede un numero finito o numerabile di discontinuità) e dunque è integrabile alla Riemann; il suo integrale è

$\int f(x)dx= \sum_{i \in I} \alpha_i \cdot (x_{i+1}-x_i)$,

cioè, come è immaginabile, l'area sottesa è la somma delle aree dei singoli rettangolini di base $(x_{i+1}-x_i)$ e altezza $\alpha_i$.

Dall'integrale di particolari funzioni a gradino Riemann partirà poi per la costruzione del suo integrale.

Voci correlate

• Funzione gradino di Heaviside
• Funzione segno
• Funzione semplice, la generalizzazione dell'argomento in uno spazio misurabile
• La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta è una funzione a gradino
• Integrale di Riemann

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