Funzione segno

funzione segno

In matematica e in informatica, la funzione segno è una funzione logica che estrae il segno di un numero reale. Per evitare confusioni con la funzione seno, questa funzione è spesso chiamata funzione signum. La funzione segno è spesso rappresentata con sgn, e può essere definita come segue:

$\sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1 & : & x < 0 \\ 0 & : & x = 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix} \right.$

o usando la notazione di Iverson:

$\ \sgn x = -[x < 0] + [x > 0]$

Ogni numero reale può venire espresso come prodotto del suo valore assoluto e della sua funzione segno:

$x = ( \sgn x ) |x|. \qquad \qquad (1)$

Dall'equazione (1) segue che per $x\neq0$ si ha

$\sgn x = {x \over |x|} \qquad \qquad (2)$

Dunque potremmo anche dare un'ulteriore definizione alternativa alla funzione segno col seguente modello:

$\sgn x = \left\{ \begin{matrix} {x \over |x|} & : & x\neq0 \\ 0 & : & altrimenti \end{matrix} \right.$

La funzione segno è la derivata della funzione valore assoluto (a meno della singolarità in 0):

${d |x| \over dx} = {x \over |x|}.$

La funzione segno è differenziabile con derivata 0 ovunque eccetto in 0. Non è differenziabile in 0 nel senso ordinario, ma sotto una nozione generalizzata di differenziabilità (cf. distribuzione) possiamo dire che la derivata della funzione segno è il doppio della delta di Dirac:

${d\,\sgn x \over dx} = 2 \delta (x).$

La funzione segno ha a che fare con la funzione gradino di Heaviside h_1/2(x):

$\sgn x = 2 h_{1/2}(x) - 1,$

dove il pedice 1/2 della funzione gradino significa h_1/2(0) = ½

La funzione segno può essere generalizzata ai numeri complessi come

$\sgn z = \frac z{|z|}$

per ogni $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

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