Delta di Dirac

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Grafico della delta di Dirac

In matematica, la funzione delta di Dirac, anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac o funzione δ, è una distribuzione la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni.

Introdotta da Paul Dirac, anche se già presente nei lavori di Oliver Heaviside, è una funzione generalizzata che dipende da un parametro reale in modo tale che sia nulla per tutti i valori del parametro ad eccezione dello zero, ed il suo integrale sul parametro tra -\infty e +\infty sia pari a 1.

Viene utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme, l'elettrone puntiforme. L'analogo discreto è il delta di Kronecker.

La definizione di Dirac[modifica | modifica sorgente]

Prima ancora della definizione formale di Dirac, i matematici del passato avevano la necessità di definire una funzione di tipo impulsivo, che rappresentasse cioè un fenomeno fisico di durata infinitesima. Inizialmente la delta fu definita come una funzione nulla per t \ne 0, con integrale pari a 1 integrando sull'intero asse delle ascisse, e anche come il limite di opportune successioni.

Formalmente la delta di Dirac viene definita dalla seguente notazione:

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (x) \operatorname \phi (x) \,\operatorname d x = \operatorname \phi (0)

valida per ogni funzione continua in un intorno dello zero. Questa definizione fu introdotta per la prima volta da Dirac alla fine degli anni venti nelle sue ricerche sulla meccanica quantistica. Si noti che, pur utilizzando il simbolo dell'integrale, l'operazione non è di integrazione, ma di applicazione di un funzionale (\delta appunto) ad una funzione test \operatorname \phi. La delta di Dirac è dunque la funzione generalizzata (definita con la simbologia di cui sopra) che trasforma la funzione test \operatorname \phi (t) nel numero \operatorname \phi (0).

Nonostante sia facilmente dimostrabile che non può esistere alcuna funzione con le proprietà della delta di Dirac, questa definizione si rivelò operativamente molto utile e fu presto adottata in molti ambiti della fisica e delle scienze applicate. Anche per Dirac era chiaro che la delta non era una funzione nel senso usuale; la sua idea era che il valore della delta nel punto 0 fosse un infinito di grado "abbastanza elevato" da permettere la proprietà definitoria. Una formalizzazione matematicamente corretta della delta fu possibile solo molti anni dopo nell'ambito della teoria delle distribuzioni.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La delta di Dirac può essere definita sia come distribuzione, sia come misura.

La delta come distribuzione[modifica | modifica sorgente]

La delta di Dirac può essere definita come una distribuzione, vale a dire un funzionale lineare continuo su un opportuno spazio di funzioni dette funzioni di test o "di prova". Si consideri come spazio delle funzioni di prova lo spazio di Schwartz, ovvero lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida S(\mathbb R^n) all'infinito e infinitamente derivabili, le cui derivate parziali sono ancora a decrescenza rapida.

Lo spazio delle distribuzioni temperate è definito come lo spazio duale dello spazio di Schwartz. Una distribuzione F è quindi definita temperata se e solo se:

 \lim_{m\to\infty} F(\operatorname\phi_m)=0

La distribuzione delta di Dirac associata alla funzione di prova \varphi dello spazio di Schwartz è definita come:[1][2]

\delta_a[\operatorname\phi] = \operatorname\phi(a)

ovvero la delta di una funzione in un punto a è un funzionale che associa alla funzione il suo valore nel punto.

Una definizione del tutto equivalente si ottiene facendo uso della derivata nel senso delle distribuzioni della funzione di Heaviside H, ovvero per ogni funzione di prova \operatorname\phi si ha:

\delta[\operatorname\phi] = -\int_{-\infty}^\infty \operatorname\phi'(x)H(x)\, \operatorname dx

La delta come misura[modifica | modifica sorgente]

Uno dei modi per definire la delta di Dirac è quello di considerarla una misura che, per ogni sottinsieme A dei numeri reali, restituisce \delta(A) = 1 se 0 \in A e \delta(A) = 0 altrimenti. L'integrale di Lebesgue permette di definire l'integrazione rispetto alla misura \delta:

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta\{\operatorname dx\} =  f(0)

per ogni funzione f continua a supporto compatto. Questa misura è singolare, e non è quindi assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue. Di conseguenza, la delta di Dirac non ha derivata di Radon-Nikodym, ovvero non esiste nessuna funzione f tale che:

\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\, \operatorname dx = f(0)

L'uso di quest'ultima notazione per la delta è un abuso di notazione, e la delta non è una distribuzione regolare.

Tuttavia la notazione integrale è largamente utilizzata, e nonostante \delta(x - x_{0}) non sia una funzione si usa scrivere:[3]

\langle \delta_{x_{0}}|f \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - x_{0})f(x)\,\operatorname dx = f(x_{0})

Come misura di probabilità sui reali, la delta di Dirac è caratterizzata dalla sua funzione di ripartizione che non è altro che la funzione di Heaviside:

H(x) = 
\begin{cases}
1 & \text{se } x\ge 0\\
0 & \text{se } x < 0
\end{cases}

Ciò significa che H(x) è l'integrale della funzione indicatrice di \mathbf 1_{(-\infty, x]} rispetto alla misura \delta. Ovvero:

H(x) = \int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{(-\infty,x]}(t)\,\delta\{\operatorname dt\} = \delta(-\infty,x]

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

La funzione delta può essere definita in uno spazio euclideo \mathbb{R}^n di dimensione n come una misura tale che:

\int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta\{\operatorname d\mathbf{x}\} = f(\mathbf{0})

per ogni funzione continua f a supporto compatto. Nel caso n-dimensionale la delta è il prodotto delle singole delta in una dimensione, ovvero se \mathbf{x} =(x_1, x_2,\dots, x_n), si ha:

\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\delta(x_2)\dots\delta(x_n)

Tale scrittura vale anche nella definizione della delta come distribuzione, ma tale prodotto può essere definito solamente sotto determinate e restrittive ipotesi.

Il concetto di misura deltiforme ha invece senso su ogni insieme. Sia X un insieme, sia x_0 \in X e \Sigma una sigma algebra dei sottoinsiemi di X, allora la misura definita sugli insiemi A \in \Sigma dalla relazione:

\delta_{x_0}(A)=\begin{cases}
1 &\mathrm{se\ }x_0\in A\\
0 &\mathrm{se\ }x_0\notin A
\end{cases}

è la misura di Dirac in x_0.

Un'altra generalizzazione molto diffusa riguarda infine le varietà differenziabili, in cui molte delle proprietà della delta come distribuzione possono essere sfruttate grazie alla struttura differenziabile. La funzione delta su una varietà M nel punto x_0 \in M è definita come la distribuzione:

\delta_{x_0}[\operatorname\phi] = \operatorname\phi(x_0)

per ogni funzione \operatorname \phi reale, liscia e a supporto compatto su M. Un caso particolare molto utilizzato è il caso in cui M sia un insieme aperto di \mathbb{R}^n.

Proprietà e operazioni della delta di Dirac[modifica | modifica sorgente]

Nel seguito si espongono le proprietà principali della delta.

Prodotto per uno scalare[modifica | modifica sorgente]

Per definizione di distribuzione si ha:

\int_{-\infty}^{+\infty} a\delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t = a\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t

Traslazione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Convoluzione.

Dalla definizione di distribuzione si ha che la delta di Dirac "tempo-ritardata" agisce come:

\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t-T)\,\operatorname dt = f(T)

Ovvero la convoluzione di una funzione f(t) con la delta tempo-ritardata significa valutare la funzione al tempo T, e da questo segue che:

(f * \delta(t-T)) =  \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot \delta(t-T-\tau) \, \operatorname d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot \delta(\tau-(t-T)) \, \operatorname d\tau = f(t-T)

Questo vale se f(t) è una distribuzione temperata, e come caso particolare si ha:

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \, \operatorname dx = \delta(\xi-\eta)

Riscalamento (e riflessione)[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione di delta si ha:

\delta (at) = {1 \over |a|} \delta (t)

Infatti:

\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (at) \operatorname \phi (t)\, \operatorname d t =
{1 \over |a|} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) \operatorname \phi \left({t \over a}\right) \operatorname d t =
{1 \over |a|} \operatorname \phi (0) =
\int_{-\infty}^{+\infty} {1 \over |a|} \delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t

Il primo passaggio è lecito se si considerano separatamente a > 0 e a < 0, e trovando che il risultato è definito a meno del segno -.

Segue come caso particolare che, vista come una funzione, la delta è pari:

\operatorname \delta(t) = \operatorname \delta(-t)

Composizione con una funzione[modifica | modifica sorgente]

Se f è una funzione derivabile e x_i sono gli zeri semplici della funzione, allora:

\delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}

Prodotto per una funzione[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione \operatorname \alpha (t) di classe C^\infty, si ha:

\operatorname \alpha (t) \operatorname \delta (t-t_0) = \operatorname \alpha (t_0) \operatorname \delta (t-t_0)

Infatti:

\int_{-\infty}^{+\infty} (\alpha (t) \delta (t-t_0)) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t =
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t-t_0) (\alpha (t) \operatorname \phi (t)) \,\operatorname d t =
\operatorname \alpha (t_0) \operatorname \phi (t_0) =
\int_{-\infty}^{+\infty} (\alpha (t_0) \delta (t-t_0)) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t

Derivata del gradino[modifica | modifica sorgente]

La funzione delta è la derivata della funzione gradino \operatorname u (t) (a volte indicata, con abuso di notazione, \operatorname 1 (t)). Tale funzione viene anche chiamata funzione di Heaviside e in questo caso viene indicata con il simbolo \operatorname H (x). Il valore della funzione gradino è 0 per x<0 e 1 per x>0.

La dimostrazione si ottiene eseguendo una integrazione per parti ed applicando le proprietà degli integrali e della funzione a gradino:

\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname u' (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t = - \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname u (t) \operatorname \phi' (t) \,\operatorname d t = 
- \int_{0}^{+\infty} \operatorname \phi' (t) \,\operatorname d t = 
-[\operatorname \phi (t)]_0^{+\infty} = 
\operatorname \phi (0) =
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \delta (t) \operatorname \phi (t) \,\operatorname d t
La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

Tale definizione è il punto di partenza per calcolare la derivata distribuzionale di una funzione, ossia la sua derivata nel senso delle distribuzioni. Tale calcolo si effettua addizionando alla derivata ordinaria della funzione gli impulsi concentrati nei punti di discontinuità della funzione, con area pari al salto della funzione nei punti stessi. Tale approccio è fondamentale nello studio dei segnali.

Si può ottenerela dimostrazione inversa, ossia dimostrare che \operatorname u (t) è primitiva di \operatorname \delta (t), osservando che:

\int_{a}^{b} \delta (t) \,\operatorname dt= \left\{\begin{matrix} 1,\, \mbox{se } a < 0 < b \\ 0, \,\mbox{se } 0 \notin [a,b] \end{matrix}\right.

Dalle proprietà dell'integrale di Riemann si ha che:

\int_{a}^{b} f' (t) \operatorname dt= [f (t)]_a^b = f (b) - f (a)

L'unica funzione che soddisfa tale vincolo è il gradino.

Derivata distribuzionale della delta[modifica | modifica sorgente]

La derivata distribuzionale della delta è la distribuzione \delta' definita a partire da una funzione di test \operatorname\phi liscia e a supporto compatto:

\delta'[\operatorname\phi] = -\delta[\operatorname\phi']=-\operatorname\phi'(0)

In modo equivalente:

\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)\operatorname\phi(x)\,\operatorname dx = -\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\operatorname\phi'(x)\,\operatorname dx

Infatti, integrando per parti:

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\operatorname d}{\operatorname{d}t}\delta (t) \phi (t) \,\operatorname{d}t = \left[ \delta (t) \phi (t) \right]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) \; \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\phi (t) \,\operatorname{d}t

ed il termine valutato si annulla grazie alla definizione della delta.

La derivata k-esima è la distribuzione definita in modo analogo:

\delta^{(k)}[\operatorname\phi] = (-1)^k \operatorname\phi^{(k)}(0)

La derivata prima della delta è il limite del rapporto incrementale:

\delta'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\delta(x+h)-\delta(x)}{h}

e più precisamente si ha:

\delta' = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(\tau_h\delta - \delta)

dove \tau_h è l'operatore di traslazione, definito su una funzione da \tau_h\operatorname\phi(x) = \operatorname\phi(x+h) e su una distribuzione da:

(\tau_h S)[\operatorname\phi] = S[\tau_{-h}\operatorname\phi]

La derivata della delta soddisfa diverse proprietà, tra cui:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\delta(-x) = -\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}\delta(x)
x\delta'(x) = -\delta(x)

Inoltre, la convoluzione di \delta' una funzione f liscia e a supporto compatto è:

\delta'*f = \delta*f' = f' \

esplicitamente:

(\delta'*f)(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(a - x)f(x)\,\operatorname dx= f'(a)

che segue direttamente dalle proprietà della derivata di una convoluzione nel senso delle distribuzioni.

La delta come limite di una successione[modifica | modifica sorgente]

La funzione delta può essere considerata come il limite di alcune particolari successioni

\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x)

In modo equivalente è definita utilizzando la convergenza nel senso delle distribuzioni:

 \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty}\eta_\varepsilon(x)f(x) \, \operatorname dx = f(0) \

per tutte le funzioni continue f a supporto compatto. La successione ηε(x) si dice allora successione di approssimanti della delta. È da tener presente che si tratta di convergenza debole nel senso della teoria delle distribuzioni, cioè valida in senso ordinario solo per la successione degli integrali. Di fatto molte delle successioni di approssimanti non sono convergenti in senso ordinario.

È possibile dare un criterio generale per le approssimanti della delta. Una successione di funzioni  {\operatorname \delta_n} localmente integrabili reali converge debolmente alla delta, se:

  •  \forall \epsilon > 0, le successioni:
 \int^{-a}_{-\infty}\delta_n(x)\,\operatorname dx \qquad \int^{\infty}_{a}\delta_n(x)\,\operatorname dx
convergono uniformemente a 0  \forall a \in [\epsilon, {+\infty}]
  • \lim_{n \to \infty} \, \int^{+\infty}_{-\infty}\delta_n(x)\,\operatorname dx = 1
  • | \int^{a}_{-\infty}\delta_n(x)\,\operatorname dx | < K
\forall n \in \mathbb{N}, dove K è un numero reale positivo indipendente da n.

La delta e la trasformata di Fourier[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformata di Fourier.

Rappresentazione di Fourier della delta[modifica | modifica sorgente]

Ogni funzione appartenente ad L^1(\R) può essere scritta come:

f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{ikx}\operatorname dk \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-iky}f(y)\,\operatorname dy

Non è possibile scambiare l'ordine di integrazione, tuttavia è possibile scrivere:

f(x) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} \mathrm{e}^{ikx}\,\operatorname dk \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-iky}f(y)\,\operatorname dy

Il primo termine dell'integrale equivale alla successione:

\delta_n(t) = \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} e^{ikt}\,\operatorname dk

Si nota che tale successione gode delle proprietà:

 \lim_{N \to {\pm \infty}} \delta_n(t) = 0 \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\delta_n(t)\,\operatorname dt = 1

che sono le proprietà richieste alla delta di Dirac.
Inserendo tale rappresentazione nella precedente scrittura, e sapendo che il teorema di Fubini Tonelli permette di scambiare l'ordine di integrazione, si ottiene infatti:

f(x) = \lim_{N \to \infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n(y - x)f(y) \,\operatorname dy

Ovvero la delta di Dirac è definita come il limite della successione:

\delta (t) = \lim_{N \to \infty} \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^{+N} \mathrm{e}^{ikt}\,\operatorname dk

e dunque la rappresentazione di Fourier della delta è:

\delta (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{ikt}\,\operatorname dk

La trasformata della delta[modifica | modifica sorgente]

La rappresentazione di Fourier rende evidente che la delta è l'antitrasformata della funzione costante f(x) = 1:

\int_{-\infty}^{+\infty} 1 \cdot \mathrm{e}^{i2\pi  xk}\,\operatorname dk = \delta(x)

e dunque:

\hat{\delta}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-i2\pi  x k}\delta(x)\,\operatorname dx = 1

La dimostrazione si può ottenere anche a partire dalla definizione di trasformata di Fourier delle distribuzioni:


(\mathcal{F}[\delta],\phi)=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal {F} [\delta](\omega) \operatorname \phi (\omega)\,\operatorname d \omega =
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta (\omega) \mathcal {F} [\operatorname \phi ](\omega)\,\operatorname d \omega =
\mathcal {F} [\operatorname \phi](0) =

=\left[\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \phi (t) \mathrm{e}^{-i \omega t}\,\operatorname dt\right]_{\omega = 0} =
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname \phi (t)\,\operatorname dt=(1,\phi)

La trasformata \hat{\delta} della delta è definita come l'unica distribuzione temperata tale che:

\langle\hat{\delta},\phi\rangle = \langle\delta,\hat{\phi}\rangle

per ogni funzione di Schwartz \operatorname \phi.

Segue inoltre che la delta fornisce la condizione di ortogonalizzazione delle autofunzioni degli operatori di derivazione e integrazione, che costituiscono il nucleo della trasformata integrale di Fourier su \mathbb R:

\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{i 2\pi \xi_1 t}  \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,\operatorname dt = \int_{-\infty}^{+
\infty} \mathrm{e}^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,\operatorname dt = \delta(\xi_1 - \xi_2)

Tramite prolungamento analitico è anche possibile definire la trasformata di Laplace della delta nel seguente modo:

 \int_{0}^{\infty}\delta (t-a)\mathrm{e}^{-st} \,\operatorname dt=e^{-sa}

Significato fisico[modifica | modifica sorgente]

La funzione delta può essere pensata come la densità di un punto. Consideriamo, ad esempio, un corpo con massa M finita, esteso in una certa regione V dello spazio tridimensionale. Possiamo associare ad ogni punto x dello spazio una quantità \rho(x) che rappresenti la densità del corpo. La funzione \rho sarà nulla al di fuori della regione V e, all'interno, assumerà valori tali che l'integrale:

\int_V \rho(x) \,\operatorname {d} x

converga ad M. Essendo \rho(x)=0 al di fuori di V l'integrale può essere esteso a tutto lo spazio e si può quindi scrivere:

\int \rho(x) \,\operatorname {d} x = M

Ora, se immaginiamo di restringere la regione V senza variare la massa del corpo, la densità di questo dovrà conseguentemente aumentare e tenderà all'infinito al tendere di V al singolo punto: vogliamo, quindi, trovare un'espressione come densità limite per la densità del corpo puntiforme.

Per semplicità consideriamo un corpo con densità costante e a una regione V sferica con raggio R; il volume di V sarà:

\frac {4}{3} \pi R^3

e la corrispondente densità:

\rho_R (x) = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3}

e in questo modo:

 \int \rho_R (x)\,\operatorname dx = M\quad \forall R

Se si considera il limite:

\rho(x) = \lim_{R \to 0}\rho_R (x)

avverrà che \rho(x) = \infty per x = 0, \rho(x) = 0 per x\not=0, da cui:

\int \rho(x) \,\operatorname {d}x = 0

e questo vuol dire che \rho(x) non è assimilabile alla densità di un punto di massa M.

Consideriamo allora un diverso tipo di limite per le densità \rho_R: il cosiddetto limite debole. Con pochi calcoli si nota che per ogni funzione continua h:

\lim _{R \to 0} \int \rho_R (x) h(x) \,\operatorname {d} x = M h(0)

Questa formula mostra che il limite debole della successione\rho_R, è il funzionale che associa alla funzione h il valore Mh(0), questo limite, che indichiamo simbolicamente M\delta(x), è la densità cercata; infatti, posto h(x)=1, si ha:

\int M \delta (x) \,\operatorname{d} x = \lim_{R \to 0} \int \rho_R (x) \,\operatorname {d} x = M

dove il primo integrale è un'espressione simbolica con cui si sottointende il passaggio al limite.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 135
  2. ^ F. Farassat, op. cit., Pag. 4
  3. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 136
  4. ^ Se \delta(n,x) è una distribuzione di probabilità su tutto l'asse reale (es. non è negativa tra -\infty e +\infty), allora un'altra \delta_\phi (n,x) può essere costruita sulla sua funzione caratteristica come segue:
    \delta_\varphi(a, x)=\frac{1}{2\pi}~\frac{\varphi(1/a, x)}{\delta(1/a,0)}
    dove:
    \varphi(a, k)=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(a,x)\mathrm{e}^{-ikx}\,\operatorname dx
    è la funzione caratteristica di \delta (n,x). Questo risultato è collegato alla proprietà di località della trasformata di Fourier.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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