Funzione gradino di Heaviside

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La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione

La funzione è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si indica con:

\Theta(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

Spesso, in luogo di \Theta(x), si usano le notazioni \delta^{(-1)}(x), u(x) o h(x), o ancora, con abuso di notazione, 1(x).

Se viene definita come una distribuzione, è la funzione \Theta(x) tale per cui:

\int \Theta(x) f'(x)dx = -\Theta(0)

dove f' è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido.

Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:

\Theta(x)=\lim_{ \varepsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty
{1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} d\tau

Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).

La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac:

 \Theta(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}dt

Il valore di  \Theta(0) è occasionalmente un valore discusso. Alcuni scrittori assumono  \Theta(0) = 0, altri  \Theta(0) = 1.  \Theta(0) = 1/2 rimane comunque la scelta più utilizzata, perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:

 \Theta(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}
\Theta(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

Per rimuovere l'ambiguità sul valore di  \Theta(0) da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:

 \Theta_n(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0
             \\ n, & x = 0
             \\ 1, & x > 0
  \end{cases}

Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:

 \Theta_T(t) = \Theta(t-T)

Forma discreta[modifica | modifica wikitesto]

Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta n:

 \Theta[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}

dove n è intera. Questa funzione è la somma fino a n della delta di Kronecker:

 \Theta[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]

dove:

 \delta[k] = \delta_{k,0}

è la delta di Dirac.

Trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Un altro modello del gradino di Heaviside è:

 \Theta (t) = \begin{cases} \lim_{\alpha \to 0} e^{- \alpha t} dt, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}

Sfruttando la trasformata di Fourier dell'esponenziale complesso:

e^{-\alpha t} \Leftrightarrow \frac{1}{\alpha + i \omega}

si ha che lo spettro del gradino è:

\Theta (t) \Leftrightarrow \frac{1}{i \omega} + \pi \delta(\omega)

cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è 1/(i \omega) eccetto che in \omega = 0 dove è presente una singolarità dove è concentrato lo spettro, nel quale è presente una delta di Dirac.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.
  • (EN) Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H(x)." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
  • (EN) Kanwal, R. P. Generalized Functions: Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.
  • (EN) Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step u(x-a) and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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