Funzione gradino di Heaviside

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La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

La funzione a gradino di Heaviside, chiamata anche funzione a gradino unitaria, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi:

\Theta(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

Spesso, in luogo di \Theta(x), si usano le notazioni \delta^{(-1)}(x), u(x) o h(x), o ancora, con abuso di notazione, 1(x).

La funzione è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

È la funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).

La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac.

 \Theta(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}dt

Il valore di  \Theta(0) è occasionalmente un valore discusso. Alcuni scrittori assumono  \Theta(0) = 0, altri  \Theta(0) = 1.  \Theta(0) = 1/2 rimane comunque la scelta più utilizzata, perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:

 \Theta(x) =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}
\Theta(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

Per rimuovere l'ambiguità sul valore di  \Theta(0) da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:

 \Theta_n(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0
             \\ n, & x = 0
             \\ 1, & x > 0
  \end{cases}

Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:

 \Theta_T(t) = \Theta(t-T)


Spesso è utile una rappresentazione integrale della funzione gradino:

\Theta(x)=\lim_{ \varepsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty
{1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} d\tau

Forma discreta[modifica | modifica sorgente]

Possiamo anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta n:

 \Theta[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}

dove n è intera.

Questa funzione è la somma fino a n della delta di Kronecker:

 \Theta[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]

dove

 \delta[k] = \delta_{k,0}

è la delta di Dirac.

Trasformata di Fourier[modifica | modifica sorgente]

Un altro modello del gradino di Heaviside è:

 \Theta (t) = \begin{cases} \lim_{\alpha \to 0} e^{- \alpha t} dt, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}

Sfruttando la trasformata dell'esponenziale complesso che è e^{-\alpha t} \Leftrightarrow \frac{1}{\alpha + i \omega} abbiamo che lo spettro del gradino è:

\Theta (t) \Leftrightarrow \frac{1}{i \omega} + \pi \delta(\omega)

cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è 1/(i \omega) eccetto che in \omega = 0 dove è presente una singolarità dove è concentrato lo spettro, nel quale è presente una delta di Dirac.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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