Dominio (matematica)

In matematica il dominio di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

Definizione di funzione

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio $X$, un codominio $Y$ e una legge $f$ che associa ad ogni elemento $x$ di $X$ un elemento di $Y$ che viene indicato con il simbolo $f(x)$. Tutti e tre questi oggetti possono essere riassunti dalla notazione seguente:

$f\colon X \to Y. \,\!$

È quindi importante notare come le nozioni di dominio e codominio siano parti integranti della stessa nozione di funzione.

La determinazione del dominio

Convenzione per particolari funzioni reali

Per approfondire, vedi la voce insieme di definizione.

In pratica, se $X$ e $Y$ sono sottoinsiemi dei numeri reali e la funzione $f$ è esprimibile tramite composizione, somme e prodotti di funzioni elementari quali ad esempio polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, etc., il dominio $X$ è spesso implicitamente definito come il sottoinsieme più grande della retta reale su cui la $f$ ha senso, ossia come il suo insieme di definizione, ma possono presentarsi casi in cui essi siano distinti: ad esempio, la funzione $f(x)= x^2$ avrebbe come insieme di definizione naturale l'intera retta reale, ma se la si scrive come

$f(x)= x^2:\R^+ \rightarrow \R$

allora si vuole evidenziare che il dominio preso in esame al momento è solo l'insieme dei reali positivi, un sottoinsieme proprio di R.

Considerazioni del genere sono solite nel valutare proprietà delle funzioni: ad esempio, proprio la funzione $f(x)= x^2$, considerata in R⁺ è iniettiva, mentre in tutto R non lo è.

Distinzione tra codominio e immagine

$Y$ rappresenta il codominio della funzione $f$; l'insieme denotato con $f(X)$, che è sempre incluso in $Y$, è invece l'immagine di $f$.

Mentre l'identificazione del dominio è basilare per valutare una funzione, lo stesso non si può dire del codominio. Infatti, se $f$ prende valori in un certo insieme $Y$, allora si può certamente dire che essa prende valori anche in un qualsiasi insieme $Y' \supseteq Y$: le funzioni $f:X \to Y$ e $f:X \to Y'$ non sono, seguendo uno stretto formalismo, la stessa funzione (in quanto il codominio è parte integrante della definizione di una funzione), ma a meno di situazioni particolari esse sono de facto considerate coincidenti.

Inoltre, se $f$ è definita da $X$ a $Y$, non vuol dire necessariamente che $f$ prenda valori in tutto $Y$ (ciò infatti accade, per definizione, se $f$ è suriettiva). Da ciò si è sentito il dovere di isolare e denotare con un simbolo speciale il sottoinsieme di $Y$ i cui elementi sono le immagini di $X$ attraverso $f$. Tale insieme è detto immagine di $f$. C'è da dire che in alcuni testi però si trova il termine codominio usato con il significato che qua viene dato di immagine e al posto di codominio si usa insieme di arrivo di $f$.

Voci correlate

• Funzione

Bibliografia

• G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di matematica vol 2, Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3

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