Funzione di ripartizione

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In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Indice

[modifica] Nel calcolo delle probabilità

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore x la probabilità dell'evento "la variabile casuale X assume valori minori o uguali ad x".

In altre parole, è la funzione F: \R \to \R con dominio la retta reale e immagine l'intervallo [0,1] definita da

F(x)=P(X\leq x).

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se F è non decrescente, continua a destra e

F(x)\geq 0, \quad \forall x
\lim_{x \to +\infty} F(x) =1
\lim_{x \to -\infty} F(x) =0

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se X è una variabile casuale discreta e z un punto del suo supporto, allora F è una funzione a gradino e dunque

\lim_{x \to z^-}F(x)=\lim_{x \to z^-} \sum_{i=1}^n p(x_i)=\sum_{i=1}^n p(x_i)

(ponendo senza restrizioni di generalità x1 < x2 < ... < xn < x < z) poiché è una costante indipendente da x, mentre

F(z)=\sum_{i=1}^n p(x_i)+p(z)

dunque essendo p(z)≠0 F non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile A associa la probabilità che X cada in A.

[modifica] Proprietà

Si può dimostare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione F(x^-):=\lim_{t \to x^-}F(t):

  • P(X < x) = F(x − )
  • P(a < X \leq b)=F(b)-F(a)
  • P(a \leq X < b)=F(b^-)-F(a^-)
  • P(a \leq X \leq b)=F(b)-F(a^-)
  • P(a < X < b) = F(b − ) − F(a)

Se X è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di X può essere espressa come funzione integrale:

F(x) = \int_{-\infty}^xf(u)du

ove f è detta funzione di densità di X.

Se X è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori x_1,\ldots,x_n,\ldots)

F(x) = \sum_{x_i\leq x} p(x_i)

dove p(x) = P(X = x) è detta funzione di probabilità di X.

[modifica] Esempi

Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme
Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se X è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha:F(x)=\begin{cases} 0 & x<1 \\ trunc(x)/6 & 1\leq x < 6 \\ 1 & x\geq 6 \end{cases} dove con trunc(x) si indica la parte intera di x.

Se X è la variabile aleatoria uniforme in [0,1] si ha

F(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ x & 0\leq x < 1 \\ 1 & x\geq 1 \end{cases}.

[modifica] Variabili aleatorie multivariate

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X a valori in \mathbb R^k è la funzione F(x) con dominio \mathbb R^k e codominio l'intervallo [0,1] definita da

F(x_1,\ldots,x_k)=P((X_1\leq x_1) \cap (X_2\leq x_2) \cap \ldots \cap (X_k\leq x_k))

dove Xi sono le componenti di X.

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

  • Per qualsiasi i, \lim_{x_i \to -\infty}F(x_1,\ldots,x_k)=0
  • F è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se c > 0, F(x_1,\ldots,x_i+c,\ldots,x_k) \geq F(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_k)
  • se k = 2 per semplicità, P(a < X_1 \leq b, c < X_2 \leq d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)
  • \lim_{x_i \to +\infty}F(x_1,\ldots,x_k)=G(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_k) dove G è la funzione di ripartizione della variabile k-1-variata (X_1,X_2,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_k).

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

\lim_{x_k \to +\infty}\lim_{x_{k-1} \to +\infty}\ldots\lim_{x_1 \to +\infty}F(x_1,x_2,\ldots,x_k)=1

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici i.

[modifica] In statistica descrittiva

In statistica la funzione di ripartizione o funzione di distribuzione cumulativa viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali o cardinali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione o viene indicata solitamente con

\ F(x)

e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno che cadono prima del valore x.

Se x1,...,xn sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative f1,...,fn la funzione di ripartizione ha espressione analitica

F(x)=\begin{cases}0 & x < x_1 \\F_i=\sum_{j \leq i}f_j & x_i \leq x < x_{i+1} \\ 1 & x \geq x_n \end{cases}

Le Fi sono dette frequenze cumulate.

[modifica] Voci correlate


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