Funzione di ripartizione

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione, anche nota come funzione di distribuzione cumulativa, è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità

Per approfondire, vedi Teoria della probabilità.

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione di una variabile casuale X a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore $x$ la probabilità dell'evento "la variabile casuale X assume valori minori o uguali ad x".

In altre parole, è la funzione $F: \R \to [0,1]$ con dominio la retta reale e immagine l'intervallo $[0,1]$ definita da

$F(x)=P(X\leq x).$

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

$F(x)\geq 0, \quad \forall x$

$\lim_{x \to +\infty} F(x) =1$

$\lim_{x \to -\infty} F(x) =0$

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se X è una variabile casuale discreta e z un punto del suo supporto, allora F è una funzione a gradino e dunque

$\lim_{x \to z^-}F(x)=\lim_{x \to z^-} \sum_{i=1}^n p(x_i)=\sum_{i=1}^n p(x_i)$

(ponendo senza restrizioni di generalità $x_1 < x_2 < ... < x_n < x < z$) poiché è una costante indipendente da x, mentre

$F(z)=\sum_{i=1}^n p(x_i)+p(z)$

dunque essendo p(z)≠0 F non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile A associa la probabilità che X cada in A.

Proprietà

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione $F(x^-):=\lim_{t \to x^-}F(t)$:

• $\operatorname{P}(X < x)=F(x^-)$
• $\operatorname{P}(a < X \leq b)=F(b)-F(a)$
• $\operatorname{P}(a \leq X < b)=F(b^-)-F(a^-)$
• $\operatorname{P}(a \leq X \leq b)=F(b)-F(a^-)$
• $\operatorname{P}(a < X < b)=F(b^-)-F(a)$
• $\operatorname{P}(X=b) = F(b) - \lim_{x \to b^{-}} F(x)$

Se X è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di X può essere espressa come funzione integrale:

$F(x) = \int_{-\infty}^xf(u)du$

ove f è detta funzione di densità di X. Si può anche considerare la relazione inversa:

$F'(x) = f(x)$

Se X è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori $x_1,\ldots,x_n,\ldots$)

$F(x) = \sum_{x_i\leq x} p(x_i)$

dove $p(x)=P(X=x)$ è detta funzione di probabilità di X.

Esempi

Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se X è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

$F(x)=\begin{cases} 0 & x<1 \\ \lfloor x\rfloor /6 & 1\leq x < 6 \\ 1 & x\geq 6 \end{cases}$

dove con $\lfloor x\rfloor$ si indica la parte intera di x.

Se X è la variabile casuale uniforme continua in $[0,1]$ si ha

$F(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ x & 0\leq x < 1 \\ 1 & x\geq 1 \end{cases}$.

Funzione di sopravvivenza

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore x (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza S (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

$S(x)=P(X>x)=1-F(x)$

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

$S(x)=\int_x^\infty f(t)dt$

e

$S(x)=\sum_{t>x} p(t)$

Ogni funzione di sopravvivenza $S(x)$ è una funzione monotona decrescente, Vale a dire $R(a) < R(b)$ per $a > b$

Il tempo $x=0$ rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.

Variabili aleatorie multivariate

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X a valori in $\mathbb R^k$ è la funzione F(x) con dominio $\mathbb R^k$ e codominio l'intervallo $[0,1]$ definita da

$F(x_1,\ldots,x_k)=P((X_1\leq x_1) \cap (X_2\leq x_2) \cap \ldots \cap (X_k\leq x_k))$

dove $X_i$ sono le componenti di $X$.

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

• Per qualsiasi i, $\lim_{x_i \to -\infty}F(x_1,\ldots,x_k)=0$
• F è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se $c > 0$, $F(x_1,\ldots,x_i+c,\ldots,x_k) \geq F(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_k)$
• se $k=2$ per semplicità, $P(a < X_1 \leq b, c < X_2 \leq d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)$
• $\lim_{x_i \to +\infty}F(x_1,\ldots,x_k)=G(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_k)$ dove G è la funzione di ripartizione della variabile k-1-variata $(X_1,X_2,\ldots,X_{i-1},X_{i+1},\ldots,X_k)$.

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

$\lim_{x_k \to +\infty}\lim_{x_{k-1} \to +\infty}\ldots\lim_{x_1 \to +\infty}F(x_1,x_2,\ldots,x_k)=1$

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici i.

In statistica descrittiva

In statistica la funzione di ripartizione empirica o funzione di distribuzione cumulativa viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione o viene indicata solitamente con

$\ F(x)$

e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore x.

Se $x_1, ..., x_n$ sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative $f_1, ..., f_n$ la funzione di ripartizione ha espressione analitica

$F(x)=\begin{cases}0 & x < x_1 \\F_i=\sum_{j \leq i}f_j & x_i \leq x < x_{i+1} \\ 1 & x \geq x_n \end{cases}$

Le $F_i$ sono dette frequenze cumulate.

Bibliografia

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
• (EN) Jean Jacod; Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000. ISBN 3540438718

Voci correlate

• Distribuzione (statistica)
• Funzione càdlàg
• Funzione di densità di probabilità
• Funzione caratteristica (teoria della probabilità)
• Funzione di probabilità
• Integrale
• Percentile
• Quantile
• Statistica
• Teoria della probabilità
• Variabile casuale
• Histogram matching

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