Disuguaglianza di Markov

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In teoria della probabilità e statistica, la disuguaglianza di Markov afferma che, per una variabile casuale \ X non negativa il cui valore atteso esiste:

\ \Pr\left(X\geq\alpha\right)\leq\frac{\textrm{E}[X]}{\alpha}

Questa disuguaglianza permette di stabilire un limite superiore al valore di probabilità dalla sola conoscenza del valore atteso E[x], a condizione che la variabile casuale sia definita non negativa.

La disuguaglianza di Markov è anche utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Čebyšëv.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisca la variabile casuale: \ I=\left\{
\begin{matrix}
1 & \iff & X\geq\alpha\\
0 & \iff & X<\alpha
\end{matrix}\right.

Chiaramente, \ 0\leq I\leq\frac{X}{\alpha} . Inoltre:

\ \Pr\left(X\geq\alpha\right)=\Pr\left(I=1\right)=\textrm{E}[I]\leq\textrm{E}\left[\frac{X}{\alpha}\right]=\frac{\textrm{E}[X]}{\alpha}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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