Funzione caratteristica (teoria della probabilità)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo:

\phi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) 
  = \int_\mathbb{R} e^{itx}\, dF_X(x)
  = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, e^{itx}\,dx.

dove X è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione, t è un numero reale, E indica il valore atteso e F è la funzione di distribuzione cumulativa. La seconda definizione è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida indipendentemente dall'esistenza della funzione di densità di probabilità, mentre l'ultima è valida nel caso la densità esista.

Se X è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento t come vettore e tX come prodotto scalare.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione caratteristica esiste per ogni variabile casuale. Inoltre, esiste una biiezione fra funzioni di distribuzione cumulativa e funzioni caratteristiche. In altre parole, due distribuzioni di probabilità non condividono mai la stessa funzione caratteristica, a meno che non coincidano.

Data una funzione caratteristica φ, è possibile ricostruire la distribuzione di probabilità cumulativa F:

F_X(y) - F_X(x) = \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1} {2\pi}
  \int_{-\tau}^{+\tau} \frac{e^{-itx} - e^{-ity}} {it}\, \phi_X(t)\, dt.

In generale questo è un integrale improprio; la funzione integranda può essere anche condizionatamente integrabile piuttosto che Lebesgue-integrabile, cioè l'integrale del suo valore assoluto può essere infinito.

Le funzioni caratteristiche sono usate nella dimostrazione più comune del teorema del limite centrale.

Le funzioni caratteristiche possono essere anche usate per trovare i momenti di una variabile casuale. A condizione che il momento n-esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata n volte e

\operatorname{E}\left(X^n\right) = (-i)^n\, \phi_X^{(n)}(0)
  = (-i)^n\, \left[\frac{d^n}{dt^n} \phi_X(t)\right]_{t=0}.

Nozioni correlate includono la funzione generatrice dei momenti e la funzione generatrice di probabilità.

La funzione caratteristica è strettamente legata alla trasformata di Fourier: La funzione caratteristica di una distribuzione con funzione di densità f è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa di f.

Le funzioni caratteristiche sono particolarmente utili nel trattare funzioni di variabili casuali indipendenti. Ad esempio, se X1, X2, ..., Xn è una successione di variabili casuali indipendenti, e

S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

dove le ai sono costanti, allora la funzione caratteristica per Sn è data da


\phi_{S_n}(t)=\phi_{X_1}(a_1t)\phi_{X_2}(a_2t)\cdots \phi_{X_n}(a_nt).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica