Teorema del limite centrale

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I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi di convergenza debole nell'ambito della teoria della probabilità. A tutti i teoremi è comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale standard. Ciò spiega l'importanza che quest'ultima variabile casuale assume nell'ambito della statistica e della teoria della probabilità in particolare.

Jarl Waldemar Lindeberg dimostrò nel 1922 il teorema del limite centrale nell'articolo "Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung", dimostrato successivamente e autonomamente da Alan Turing.

[modifica] Teorema del limite centrale di Lindeberg-Lévy

La più nota formulazione di un teorema del limite centrale è quella dovuta a Lindeberg e Lévy; si consideri una successione di variabili casuali $\ \left\{x_{j}\right\}_{j=1}^{n}$ indipendenti e identicamente distribuite, e in particolare tali che esistano, finiti, i loro momenti di ordine primo e secondo, e sia in particolare $\ \textrm{E}[x_{j}]=\mu<\infty$ e $\ \textrm{var}(x_{j})=\sigma^{2}<\infty$ per ogni $\ j$ . Definita allora la nuova variabile casuale:

$\ S_{n}=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

dove $\ \bar{x}=\frac{\sum_{j=1}^{n}x_{j}}{n}$ è la media aritmetica degli $\ x_{j}$ , si ha che $\ S_{n}$ converge in distribuzione a una variabile casuale normale avente valore atteso 0 e varianza 1, ossia la distribuzione di $\ S_{n}$ , al limite per $\ n$ che tende a infinito, coincide con quella di una tale variabile casuale normale.

La dimostrazione del teorema fa uso della nozione di funzione caratteristica della $\ S_{n}$ , che altro non è che la trasformata di Fourier della funzione di densità (o di massa di probabilità per variabili casuali discrete) della $\ S_{n}$ :

$\ \varphi_{S_{n}}(t)=\textrm{E}\left[\exp\left\{itS_{n}\right\}\right]=\int_{\mathbb{R}}e^{itS_{n}}f_{S_{n}}(x)dx$

dove $\ i$ è l'unità immaginaria, e $\ f_{S_{n}}$ denota la funzione di densità di probabilità di $\ S_{n}$ . Nel caso presente, si ha:

$\ \textrm{E}\left[\exp\left\{itS_{n}\right\}\right]=\textrm{E}\left[\exp\left\{\frac{it}{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{x_{j}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right\}\right]=\prod_{j=1}^{n}\textrm{E}\left[\exp\left\{\frac{it}{\sqrt{n}}\frac{x_{j}-\mu}{\sigma}\right\}\right]$

dove l'ultima uguaglianza discende dalla indipendenza degli $\ x_j$ ; per semplicità di notazione sia $\ y_{j}=\frac{x_{j}-\mu}{\sigma}$ ; si osservi che $\ \textrm{E}[y_{j}]=0,\ \textrm{var}(y_{j})=\textrm{E}[y_{j}^{2}]=1\ \forall j$ . Si consideri quindi lo sviluppo di Taylor, centrato in $\ y_{j}=0$ del valore atteso:

$\ \textrm{E}\left[\exp\left\{\frac{it}{\sqrt{n}}y_{j}\right\}\right]=\textrm{E}\left[1+\frac{it}{\sqrt{n}}y_{j}-\frac{1}{2}\frac{t^{2}}{n}y_{j}^{2}+o\left(y_{j}^{2}\right)\right]=1-\frac{1}{n}\left(\frac{t^{2}}{2}\right)\ \forall\ j$

Segue che:

$\ \textrm{E}\left[\exp\left\{itS_{n}\right\}\right]=\left(1-\frac{1}{n}\left(\frac{t^{2}}{2}\right)\right)^{n}$

Ma applicando il limite notevole: $\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$ , si ha:

$\ \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{S_{n}}(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\left(\frac{t^{2}}{2}\right)\right)^{n}=\exp\left\{-\frac{t^{2}}{2}\right\}$

Nell'espressione sopra si riconosce la funzione caratteristica di una variabile casuale normale standard, così che la funzione di densità, e dunque la funzione di ripartizione, della $\ S_{n}$ , converge a quella di una normale standard al tendere di $\ n$ a infinito, come volevasi dimostrare.