Funzione gaussiana

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Funzioni gaussiane per diversi valori medi (\mu) e vari valori di \sigma^2.

In matematica, una funzione gaussiana è una funzione della seguente forma:

f(x) = a e^{-(x-b)^2/c^2},

per qualunque costante reale a>0, b e c. Il nome di queste funzioni ricorda il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Le funzioni gaussiane con c^2=2 sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" e possono essere introdotte nei primi corsi di analisi; esse mancano però di "integrali elementari", in altre parole, i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}~.

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema del residuo dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione:

Ponendo  I = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx,

si ha che:

I^2 = \int_{0}^{+\infty} e^{-y^2}\,dy \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} e^{ - \left( y^2 + x^2 \right)}\,dydx.

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

 x = r \cos {\theta}
 y =r \, \mathrm{sin} \, {\theta}

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di r,\theta (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

0 \; < r \; < +\infty e 0 \; < \theta \; < \frac{\pi}{2}

Rispolverando il teorema di pitagora per cui y^2 + x^2 = r^2, si può quindi scrivere

I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{0}^{+\infty} r e^{-r^2} \,dr \right) d\theta,

da cui:

I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left ( - \frac{1}{2} e^{-r^2} |_{0}^{+\infty} \right) d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{4}.

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale \int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx=2\int^{+\infty}_0e^{-x^2}dx, è dimostrato che \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx=2\sqrt{I^2} = \sqrt{\pi}.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale. La distribuzione normale relativa al valore atteso m e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma

\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}~.

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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