Funzione gaussiana

Funzioni gaussiane per diversi valori medi ($\mu$) e vari valori di $\sigma^2$.

Una funzione gaussiana è una funzione della seguente forma:

$f(x) = a e^{-(x-b)^2/c^2}$

per qualche costante reale a > 0, b e c. Il nome di queste funzioni ricorda il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Le funzioni gaussiane con c² = 2 sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" e possono essere introdotte nei primi corsi di analisi; esse mancano però di "integrali elementari", in altre parole, i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}~.$

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema del residuo dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione:

Ponendo $I = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx$

Si ha che: $I^2 = \int_{0}^\infty e^{-y^2}\,dy \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx = \int_{0}^\infty \int_{0}^\infty e^{ - \left( y^2 + x^2 \right)}\,dydx$

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

$x = r \cos {\theta}$

$y =r \, \mathrm{sin} \, {\theta}$

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di $r,\theta$ (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

$0 \; < r \; < \infty$ e $0 \; < \theta \; < \frac{\pi}{2}$

Rispolverando il teorema di pitagora per cui $y^2 + x^2 = r^2$

Si può quindi scrivere: $I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{0}^\infty r e^{-r^2} \,dr \right) d\theta$ da cui: $I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left ( - \frac{1}{2} e^{-r^2} |_{0}^{\infty} \right) d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{4}$

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale $\int^\infty_{-\infty}e^{-x^2}dx=2\int^\infty_0e^{-x^2}dx$, è dimostrato che $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=2\sqrt{I^2} = \sqrt{\pi}$

Applicazioni

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale. La distribuzione normale relativa al valore atteso m e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma

$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}~.$

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

Voci correlate

• Polinomi di Hermite
• Variabile casuale di Lorentz
• Glossario sulle funzioni speciali
• Variabile casuale normale

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