Varianza

In teoria della probabilità e in statistica la varianza di una variabile aleatoria X (e della distribuzione di probabilità che questa segue) è un numero, indicato con Var(X), che fornisce una misura di quanto siano vari i valori assunti dalla variabile, ovvero di quanto si discostino dalla media E[X].

Definizione

La varianza di X è definita come il valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata Y=X-E[X]

$\text{Var}(X)=E[Y^2]=E\Big[\big(X-E[X]\big)^2\Big]$

In statistica viene spesso preferita la radice quadrata della varianza di X, lo scarto tipo (o scarto quadratico medio) indicato con la lettera σ. Per questo motivo talvolta la varianza viene indicata con σ².

Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dal teorema di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:

$P\Big(\big|X-E[X]\big|\geqslant\lambda\sqrt{\text{Var}(X)}\Big)\leqslant\frac{1}{\lambda^2}$

Proprietà

La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore, P(X=x)=1.

Una formula alternativa per la varianza è

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2\$

Questa formula è a volte più pratica per calcolare la varianza.

Dimostrazione

La varianza di X è per definizione pari al valore atteso di

$(X-E[X])^2=X^2-2XE[X]+E[X]^2\$:

per la linearità del valore atteso si ottiene

$\text{Var}(X)=E[X^2-2XE[X]+E[X]^2]=E[X^2]-2E[X]E[X]+E[X]^2=E[X^2]-E[X]^2\$.

Linearità

La varianza è invariante per traslazione, che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento:

$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)\$

Dimostrazione

Sfruttando la linearità del valore atteso si trova

$(aX+b)-E[aX+b]=aX+b-aE[X]-b=a(X-E[X])\,\!$,

quindi

$\text{Var}(aX+b)=E[a^2(X-E[X])^2]=a^2\text{Var}(X)\$.

La varianza della somma di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze

$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)\$

Dimostrazione

Se $E[X]=E[Y]=0\,\!$, allora $E[XY]=0\,\!$ e

$\text{Var}(X+Y)=E[(X+Y)^2]=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2E[XY]\$,

e siccome le variabili sono indipendenti risulta $E[XY]=E[X]E[Y]=0\,\!$.

Nel caso generale basta traslare le variabili di modo che abbiano valore atteso nullo (come $X'=X-E[X]\,\!$); la loro varianza non cambia.

Se X e Y non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro covarianza,

$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)\$,

dove

$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]\$

In particolare, la media $\textstyle \bar{X}=\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ di n variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima legge, ha varianza

$\text{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\text{Var}(X_1+\ldots+X_n)=\frac{1}{n}\text{Var}(X_1)$

Variabili discrete e continue

La varianza di una variabile aleatoria discreta X a valori in un insieme S si calcola attraverso la sua funzione di probabilità:

$E[X]=\sum_{s\in S}sP(X=s)$

$\text{Var}(X)=\sum_{s\in S}(s-E[X])^2P(X=s)$

La varianza di una variabile aleatoria continua X a valori in un insieme S si calcola attraverso la sua densità di probabilità:

$E[X]=\int_S sf(s) ds\$

$\text{Var}(X)=\int_S (s-E[X])^2f(s) ds\$

Statistica

In statistica viene utilizzata più spesso della varianza la sua radice quadrata, vale a dire lo scarto quadratico medio $\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}$ anche detto deviazione standard. Con riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come σ².

Stimatori

In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità n:

$S^2_n=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}{n}\quad$ e $\quad S^2_{n-1}=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}{n-1}$,

(anche chiamati varianza campionaria) dove $\textstyle \bar{X}=\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ è lo stimatore per la media.

Lo stimatore S_n-1 è privo di bias, ovvero il suo valore atteso è proprio la varianza $E[S^2_{n-1}]=\text{Var}(X)$.
Al contrario, lo stimatore S_n ha un valore atteso diverso dalla varianza, $E[S^2_n]=\textstyle \frac{n-1}{n}\text{Var}(X)$.

Una giustificazione del termine n-1 è data dalla necessità di stimare anche la media. Se la media μ è nota, lo stimatore S_n diventa corretto. Questa è detta "Correzione di Bessel".

$\begin{align} \operatorname{E}[S_{n-1}^2] & = \operatorname{E}\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i^2 ~ - ~ \frac{n}{n-1} \overline{X}^2 \right] \\[8pt] & = \frac{1}{n-1}\left( \sum \operatorname{E}[X_i^2] ~ - ~ n \operatorname{E}[\overline{X}^2] \right) \\[8pt] & = \frac{1}{n-1}\left( n \operatorname{E}[X^2] ~ - ~ n \operatorname{E}[\overline{X}^2] \right) \\[8pt] & = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(X) + \operatorname{E}[X]^2 ~ - ~ \operatorname{Var}(\overline{X}) - \operatorname{E}[\overline{X}]^2 \right) \\[8pt] & = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(X) + \mu^2 ~ - ~ \frac{1}{n}\operatorname{Var}(X) - \mu^2 \right) \\[8pt] & = \frac{n}{n-1}\left( \frac{n-1}{n} ~ \operatorname{Var}(X) \right) \\[8pt] & = \operatorname{Var}(X) \\[8pt] & = \sigma^2. \end{align}$

In contrasto con,

$\operatorname{E}[S_n^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2.$

Se le X_i seguono la legge normale N(μ,σ), lo stimatore S²_n-1 segue una legge del χ²

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Varianza osservata

Come per gli stimatori, esistono due diverse varianze osservate sui dati di un campione $x_1,\ldots,x_n$ di media osservata $\textstyle \bar{x}=\frac{\sum_i x_i}{n}$,

$s^2_n=\frac{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}{n}\quad$ e $\quad s^2_{n-1}=\frac{\sum_i(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$.

In particolare, s_n è la media quadratica delle distanze dei valori dalla loro media.

Esempi

Una variabile aleatoria X di legge di Bernoulli B(p), ovvero che ha probabilità p di fornire "1" e probabilità q=1-p di fornire "0", ha valore medio

E[X] = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) = P(X = 1) = p;

la sua varianza può essere calcolata come

$\text{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[(X-p)^2]=p^2P(X=0)+q^2P(X=1)=pq(p+q)=pq\$

oppure come

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=P(X=1)-p^2=p(1-p)=pq\$.

Il campione {-4, -1, 1, 2, 7} ha media

$\mu=\frac{-4-1+1+2+7}{5}=1$

e le varianze osservate sono

$\textstyle s^2_n=\frac{(-4-1)^2+(-1-1)^2+(1-1)^2+(2-1)^2+(7-1)^2}{5}=\frac{25+4+0+1+36}{5}=\frac{66}{5}=13,2$

e

$\textstyle s^2_{n-1}=\frac{66}{5-1}=16,5$.

Voci correlate

• Covarianza
• Legge della varianza totale
• Scarto quadratico medio
• Valore atteso
• Variabili indipendenti

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