Variabile casuale normale

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Variabile casuale normale (o di Gauss)
Funzione di densità
Funzione di densità di una variabile casuale normale
La linea in verde si riferisce alla variabile casuale normale standardizzata
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione di una variabile casuale normale
I colori corrispondono a quelli delle densità della figura precedente
Parametri \mu~\in~\mathbb{R}, \sigma^2~\in~(0,\infty)
Supporto \mathbb{R}
Funzione di densità \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}
Funzione di ripartizione \frac{1}{2} \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!
Valore atteso μ
Mediana μ
Moda μ
Varianza σ2
Skewness 0
Curtosi 0
Entropia \ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!
Funz. Gen. dei Momenti M_X(x)= \exp\left(\mu\,x+\frac{\sigma^2 x^2}{2}\right)
Funz. Caratteristica \varphi_X(x)=\exp\left(\mu\,i\,x-\frac{\sigma^2 x^2}{2}\right)

La variabile casuale Normale (detta anche variabile casuale Gaussiana, curva di Gauss, Campana di Gauss, curva degli errori, curva a campana, ogiva) è una variabile casuale continua con due parametri, indicata tradizionalmente con:

\ N(\mu;\sigma^2)

Si tratta di una delle più importanti variabili casuali, soprattutto continue, in quanto è, o la base di partenza per le altre v.c. (vedasi la Chi Quadrato, la t di Student, e la F di Snedecor) o la v.c. alla quale altre possono essere approssimate in certe situazioni limite (vedasi la bernoulliana e la poissoniana e il teorema del limite centrale).

Indice

[modifica] Metodologia

La variabile casuale gaussiana è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana: p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \; e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}} ~\mbox{ con }~ - \infty < x < \infty .

La sua funzione generatrice dei momenti è g(x) = e^{ \mu x + \sigma ^2 \frac{x^2}{2} }

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile esprimere l'integrale della pX(x) in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

68,3% = P{ μ -      σ < X <  μ +      σ }
95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X <  μ + 1,96 σ }
95,5% = P{ μ - 2    σ < X <  μ + 2    σ }
99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X <  μ + 2,58 σ }
99,7% = P{ μ - 3    σ < X <  μ + 3    σ }

Essendo pX(x) una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

[modifica] Teoremi

Se
X1, X2, ..., Xn sono n variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso μi e varianza σ²i,
allora
la v.c. Y = α1X1 + α2X2 + ... + αnXn è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso μ = α1μ1 + α2μ2 + ... + αnμn e varianza σ² = α²1σ²1 + α²2σ²2 + ... + α²nσ²n

Altri teoremi: Teorema di Cochran

[modifica] Relazioni con altre variabili casuali

[modifica] La Normale come derivazione da altre voci

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

Se X è distribuita come una variabile casuale binomiale con n molto grande (per dare un'idea di quanto grande possiamo dire che deve essere n>7), e approssimativamente np>10, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

Se X è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

[modifica] Variabili casuali derivate dalla Normale

Date n distribuzioni normali Z1(0;1); Z2(0;1); ... Zn(0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. allora

χ²n= Z1² + Z2² + .... +Zn²

è una Variabile casuale chi quadro con n gradi di libertà.

Siano Z1, Z2, Z3,...,Zn variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre a1, a2, a3,...,an delle costanti tali che

\lambda=\sum{a_i^2}

allora si indica con χ'² la v.c. chi quadro non centrale con n gradi di libertà costruita come

\chi'^2=\sum(Z_i+a_i)^2

Se Z~N(0;1) e X~χ²n, allora T=Z/√X/n è distribuita come una t di Student con n gradi di libertà.

Se Z~N(0;1) e T=\beta (\frac{\alpha Z}{2} + \sqrt{(\frac{(\alpha Z)^2}{4}+1})^2 allora T è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri α e β.

[modifica] La normale nell'inferenza bayesiana

[modifica] V.c. Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la variabile casuale Gamma.

Se X è distribuita come una v.c. normale con parametr μ e 1/θ

f(x | θ) = N(x | μ;1 / θ)

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Gamma con i parametri a e b

g(λ) = Gamma(λ | a;b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Gamma, ma con parametri a+1/2 e b+(μ-x)2/2

g(θ | x) = Gamma(θ | a + 1 / 2;b + (μ − x)2 / 2)

[modifica] Priori coniugati normale di una normale

Se X è distribuita come una v.c. normale con parametri m e σ2

f(x | m) = N(x | m;1 / r2)

e il parametro m è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri μ e σ2

g(m) = N(m | μ;σ2)

allora il parametro m è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri (σ2μ + r2x) / (σ2 + r2) e (σ2r2) / (σ2 + r2)

g(m | x) = N(m | (σ2μ + r2x) / (σ2 + r2);(σ2r2) / (σ2 + r2))

[modifica] Cenni storici

Karl Friedrich Gauss descrisse la Normale studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi curva di Gauss e curva degli errori:

Nel 1835 Lambert-Adolphe-Jacques Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una Gaussiana, ma non andò oltre.

Fu Francis Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche ogiva, poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa di idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine Normale, in quanto rappresentava uno substrato normale ovvero la norma per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_casuale_normale"
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