Test Z

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Il test Z (o, dall'inglese, z-test) è un test statistico di verifica d'ipotesi in cui la statistica test ha una distribuzione normale (o può essere approssimata come tale). Esso è perciò un test di tipo parametrico.

Il test z bilatero per la verifica d'ipotesi su un valore medio[modifica | modifica wikitesto]

Il test Z bilatero si utilizza nei casi in cui si intende verificare l'ipotesi che il valore medio di una popolazione non si discosti significativamente da un certo valore costante μ0.

Quando – nell'indagine campionaria – si vuole valutare l'ipotesi nulla:

 \displaystyle H_0:\mu=\mu_0

contro l'ipotesi alternativa bidirezionale:

H_1:\mu\neq\mu_0 \

al livello di significatività α, si considera la statistica test:

Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},

dove

\overline{X}=\sum_{i=1}^N x_i/n
è la v.c. media campionaria. Questa è distribuita normalmente se la popolazione è normale; se invece la popolazione non è normale, per il teorema centrale del limite si può comunque affermare che la media campionaria tenda alla normalità per n tendente a infinito, e quindi si può ben approssimare ad una distribuzione normale per valori di n elevati. Standardizzando rispetto a μ0 si ottiene la normale standard di media 0 e varianza 1.
Curva normale standard, con evidenziata la regione di rifiuto, con α = 10%

Per il test consideriamo una realizzazione campionaria della statistica ottenuta a partire dai dati campionari. Nota la dimensione campionaria n e la deviazione standard σ, la regione di rifiuto del test è costituita da quei valori della z empirica tali che:

P\left(z<-z_{\alpha/2} \text{ oppure } z>z_{\alpha/2}\right)=\alpha.

Quindi se \displaystyle |z|>z_{\alpha/2}, siamo nella regione di rifiuto e vale H1.

Quindi, con una probabilità di errore α (errore di prima specie), la media di universo è diversa dal valore medio ipotizzato.

Varianza ignota[modifica | modifica wikitesto]

Se, come spesso accade nella realtà, non si conosce la varianza σ2 della popolazione, la si stima su base campionaria con lo stimatore varianza corretta del campione, ovvero la varianza campionaria:

s^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n-1},

la cui realizzazione campionaria è la stima della varianza di universo.

In questo caso il test non si chiama più test z, ma test t perché la distribuzione di probabilità della statistica test è una T di Student con n − 1 gradi di libertà. La verifica d'ipotesi è analoga al test z (si confronta la t empirica con il quantile di ordine α/2 delle T a n − 1 gradi di libertà).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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