Valore atteso

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In teoria della probabilità il valore atteso (chiamato anche media, speranza o speranza matematica) di una variabile casuale  X , è un numero indicato con \mathbb{E}[X] (da expected value o expectation in inglese o dal francese espérance) che formalizza l'idea euristica di valore medio di un fenomeno aleatorio.

In generale il valore atteso di una variabile casuale discreta (che assuma cioè solo un numero finito o una infinità numerabile di valori) è dato dalla somma dei possibili valori di tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di essere assunto (ossia di verificarsi), cioè è la media ponderata dei possibili risultati. Per una variabile casuale continua la questione è più delicata e si deve ricorrere alla teoria della misura e all'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Ad esempio nel gioco testa o croce, se scegliamo "testa" e ipotizziamo un valore di 100 per la vittoria (testa) e di zero per la sconfitta (croce), il valore atteso del gioco è 50, ovvero la media delle vincite e perdite pesata in base alle probabilità (50% per entrambi i casi): 100 \cdot 0,5 + 0\cdot 0,5= 50, cioè il valore di "testa" per la sua probabilità e il valore di "croce" per la sua probabilità.

Definizione matematica[modifica | modifica sorgente]

Sia (\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P}) uno spazio di probabilità, ed X una variabile aleatoria a valori reali su tale spazio (ossia una funzione misurabile X:\Omega \mapsto \mathbb{R}, dove i numeri si intendono equipaggiati con la loro σ-algebra boreliana). Il valore atteso di X è semplicemente l'integrale di X rispetto alla misura di probabilità \mathbb{P}:

\mathbb{E}(X):= \int_{\Omega} X(\omega) d \mathbb{P}(\omega).

Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie discrete[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di variabile casuale discreta che ammette funzione di probabilità p_i è definita come

\ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_i\,p_i

Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie assolutamente continue[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di variabile casuale continua che ammette funzione di densità di probabilità f(x) la definizione diventa

\ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx

Speranza matematica finita[modifica | modifica sorgente]

Si dice che  X ha speranza finita nel discreto se

\ \mathbb{E}[|X|] = \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|\,p_i <+{\infty}

mentre nel continuo se

\ \mathbb{E}[|X|] = \int_{-\infty}^{\infty}|x| f(x) dx <+{\infty}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Media di una costante[modifica | modifica sorgente]

La media di una costante c (cioè di una variabile casuale che assume il valore c con probabilità 1) è ovviamente la costante stessa:

\mathbb{E}[c]=c.

Linearità[modifica | modifica sorgente]

Un'importante caratteristica del valore atteso è la linearità: ovvero per ogni variabile casuale X e coppia di numeri reali a e b si ha

\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b

Questa proprietà è facilmente dimostrabile: ad esempio, nel caso di una variabile casuale discreta, si ha

\mathbb{E}[aX+b]=\sum_{i=1}^\infty (ax_i+b)P(X=x_i)=a\sum_{i=1}^\infty x_iP(X=x_i)+b\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)=a\mathbb{E}[X]+b

perché la somma delle probabilità è 1, in quanto consideriamo la somma di tutti i possibili eventi.

Questa proprietà ha la conseguenza importante che date due variabili casuali qualsiasi X e Y (non necessariamente indipendenti) si ha

\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]

Questa proprietà non vale per il prodotto: in generale, E[XY] è diverso da E[X]E[Y]. Quando queste due quantità sono uguali, si dice che X e Y sono non correlate. In particolare, due variabili casuali indipendenti sono non correlate.

Monotonia[modifica | modifica sorgente]

Se i valori che assume una variabile casuale X sono compresi tra due estremi a e b, così sarà la media di X; infatti \mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^\infty x_iP(X=x_i)>a\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)=a e allo stesso modo si dimostra nel caso continuo. Da questo si deduce che se due variabili casuali verificano X\geq Y (ovvero, per ogni evento E, il valore di X in corrispondenza di quell'evento è maggiore o uguale di quello di Y), allora

\mathbb{E}[X]\geq\mathbb{E}[Y]
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Legge dei grandi numeri.

Stime del valore atteso[modifica | modifica sorgente]

In statistica, la stima del valore atteso assume un ruolo centrale, in quanto principale parametro usato nella statistica inferenziale.

Calcolo del valore atteso nel gioco[modifica | modifica sorgente]

Gioco dei dadi[modifica | modifica sorgente]

Nel gioco dei dadi rappresentando il risultato del tiro del dado con una variabile casuale che possa assumere i valori  1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6 , ciascuno con probabilità  1/6 . Intuitivamente, la media di questa variabile casuale sarà  3.5, dal momento che  1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=3,5.

Gioco del lotto[modifica | modifica sorgente]

  • Nel gioco del lotto vengono estratti 5 numeri tra 1 e 90, ed un giocatore può puntare una certa posta sul verificarsi di vari eventi. Calcoliamo il valore atteso del ricavo di uno scommettitore che punti 10 euro sulle cinque possibili giocate:
    • numero secco (si punta sull'uscita di un determinato numero; la vincita paga circa 11 volte la posta): la probabilità che il giocatore vinca è data dal rapporto da 5/90 (rapporto tra i numeri vincenti e tutti i numeri che possono essere estratti), ed in tal caso il giocatore vincerà 11 \cdot 10-10=100 euro; la probabilità di perdita è 85/90, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi \frac{5}{90}\cdot 100 - \frac{85}{90} \cdot 10=-\frac{35}{9} \simeq -3.89. Ossia, in media il giocatore perderà 3.89 euro per ogni 10 euro giocati.
    • ambo (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 250 volte la posta): vi sono {90 \choose 2}=4005 possibili coppie di numeri. Poiché sulla ruota vengono estratti 5 numeri, gli ambi estratti sono {5 \choose 2}=10 e pertanto il giocatore vincerà con probabilità 10/4005, ed in tal caso egli guadagnerà 250 \cdot 10-10=2490 euro; la probabilità di perdita è 3995/4005, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il guadagno medio sarà quindi \frac{10}{4005}\cdot2490 - \frac{3995}{4005}\cdot 10 \simeq -3.76. Ossia, in media il giocatore perderà 3.76 euro per ogni 10 euro giocati.
    • terno (si punta sull'uscita di un determinata terna di numeri; la vincita paga 4500 volte la posta): Ci sono 117480 possibili terne distinte di numeri.
    • quaterna (si punta sull'uscita di un determinata quaterna di numeri; la vincita paga 120000 volte la posta): Ci sono 2555190 possibili quaterne distinte di numeri.
    • cinquina (si punta sull'uscita di un determinata cinquina di numeri; la vincita paga 6 milioni di volte la posta): Ci sono 43949268 possibili cinquine distinte di numeri.

La tabella seguente mostra un riepilogo delle perdite medie per una giocata di importo pari a 1 euro.

Probabilità di vincita Quote di Vincita per 1 euro giocato Perdita media in centesimi
Ambo 1/(400.5) 250 37.6
Terna 1/(11748) 4500 61.7
Quaterna 1/(511038) 120000 76.5
Cinquina 1/(43949268) 6 milioni 86.3

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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