Valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità, il valore atteso condizionato (o media condizionata) di una variabile casuale è il suo valore atteso rispetto ad una distribuzione di probabilità condizionata.

Trattamento discreto

Il punto di partenza è la definizione di probabilità condizionata: dati due eventi A e B, la probabilità di A dato B è

$P(A|B)=\begin{cases} 0 & \text{se}\; P(B)=0\\ \frac{P(A\cap B)}{P(B)} & \text{altrimenti}\end{cases}$

Allo stesso modo si può estendere la probabilità condizionata quando A e B sono esiti di due variabili casuali:

$P(X\in A|Y\in B)=\frac{P(\{X\in A\}\cap\{Y\in B\})}{P(\{Y\in B\})}$

(se il denominatore è diverso da 0; 0 altrimenti). In particolare, se B={y} e A={x}, si ha

$P(X=x|Y=y)=\frac{P(X=x \wedge Y=y)}{P(Y=y)}$

che, lasciando fisso y, può essere mediato:

$E[X|Y=y]=\sum_x x\frac{P(X=x \wedge Y=y)}{P(Y=y)}$

definendo quindi E[X|Y] come quella variabile casuale che vale E[X|Y=y] quando Y=y. Questa definizione, tuttavia, è consistente solamente nel caso in cui X e Y siano discrete, ma perde di senso quando sono continue, in quanto la probabilità che Y sia un certo valore y (così come quella che X sia x) è sempre 0. Per eliminare queste difficoltà la definizione prende strade diverse.

Definizione

Data una variabile casuale X e una σ-algebra $\mathfrak{F}$, un valore atteso condizionato di X rispetto a $\mathfrak{F}$ è una variabile casuale Y tale che

• Y è misurabile rispetto a $\mathfrak{F}$;
• Y è in L¹, cioè il suo modulo |Y| ha media finita;
• $E(Y 1_F)=E(X 1_F)$ per ogni $F\in\mathfrak{F}$ (1 è la funzione indicatrice).

Il risultato fondamentale che rende questa definizione sensata è l'esistenza, per ogni variabile casuale integrabile X e per ogni σ-algebra, di un valore atteso condizionato; inoltre due variabili casuali con queste caratteristiche sono uguali quasi certamente, e quindi possono essere considerate sostanzialmente "le stesse"; in tal caso si scrive

$Y=E[X|\mathfrak{F}]$

Tale risultato può essere dimostrato a partire dal teorema di Radon-Nikodym, oppure tramite un argomento di approssimazione.

La definizione è consistente con quella elementare se si pone

$E[X|Z]=E[X|\sigma(Z)]$

cioè se si considera la σ-algebra generata dalla variabile casuale Z.

Il valore atteso condizionato può essere interpretato come la miglior approssimazione che è possibile fare di X data l'"informazione" contenuta nella σ-algebra $\mathfrak{F}$: così come la media E[X] minimizza la funzione $E[(X-c)^2]$ quando c è un numero reale (ovvero una funzione misurabile sulla σ-algebra banale $\{\varnothing,\Omega\}$), così il valore condizionato $E[X|\mathfrak{F}]$ minimizza $E[(X-Y)^2]$ tra le variabili casuali $\mathfrak{F}$-misurabili. Ovviamente questa interpretazione può essere data solo quando X appartiene a L².

Proprietà

Il valore atteso condizionato verifica tutte le maggiori proprietà del valore atteso: è positivo (cioè se $X\geq 0$ allora $E[X|\mathfrak{F}]\geq 0$), lineare, e verifica i teoremi della convergenza monotona, della convergenza dominata e il lemma di Fatou quando le ipotesi sono verificate dalla successione {X_n}: ad esempio, se le X_n sono positive e la successione è crescente verso X, allora

$\lim_{n\to\infty} E[X_n|\mathfrak{F}]=E[X|\mathfrak{F}]$

Un'altra proprietà fondamentale è la possibilità di calcolare una media attraverso il condizionamento: per ogni variabile casuale X e per ogni σ-algebra si ha

$E[X]=E[E[X|\mathfrak{F}]]$

formula che è utile nel calcolo di alcune medie, come nel caso in cui X è una variabile casuale definita da un parametro che è anch'esso causale. (Ad esempio, X potrebbe essere una variabile casuale binomiale in cui il numero di lanci è una variabile di Poisson.) Un'altra caratteristica è la "proprietà della torre": se $\mathfrak{H}\subseteq\mathfrak{G}$ sono due σ-algebre,, allora

$E[E[X|\mathfrak{G}]|\mathfrak{H}]=E[X|\mathfrak{H}]$

Bibliografia

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991. ISBN 978-0-521-40605-5

Voci correlate

• Martingala (matematica)

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