Integrale di Lebesgue-Stieltjes

In analisi matematica e teoria della misura, l'integrale di Lebesgue-Stieltjes è una generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue. L'integrale prende il nome da Henri Lebesgue e Thomas Joannes Stieltjes, ed è anche noto come integrale di Lebesgue-Radon o integrale di Radon.

Definizione formale

L'integrale di Lebesgue-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann-Stieltjes in maniera analoga a come l'integrale di Lebesgue generalizza quello di Riemann: dopo aver definito un opportuno spazio di misura, viene data la definizione dell'integrale per funzioni semplici. Per una funzione generica l'integrale viene definito tramite il limite degli integrali delle funzioni semplici che approssimano la funzione stessa.

Definizioni preliminari

Consideriamo una funzione additiva non negativa a variazione limitata definita sugli intervalli della retta reale:

$w: I\subseteq \mathbb{R} \mapsto \alpha \in \mathbb{R}^+$,

e uno spazio misurabile $( \Omega, F )$ tale che $w$ ha supporto su $F$.

Definendo la seguente misura:

$\mu_w(E) = \inf \left\{ \sum_j w(I_j) :\, E \subseteq \Omega, E \subseteq \bigcup_j I_j \right\}$,

$( \Omega, F, \mu_w )$ è uno spazio di misura.

Integrale di funzioni semplici

Data una funzione semplice $s = \sum_i a_i 1_{A_i}$, dove $1_{A_i}$ è la funzione indicatrice dell'insieme misurabile $A_i \subseteq F$, il suo integrale di Lebesgue-Stieltjes è definito come:

$\int s \, \mathrm{d} \mu_w = \sum_i a_i \mu_w(A_i)$.

Integrale di funzioni positive

Se $f: (\Omega, F) \rightarrow \mathbb{R}^+$ è un funzione misurabile non negativa (rispetto alla misura $\mu_w$), l'integrale di $f$ su $E$rispetto a $\mu_w$ è definito come l'estremo superiore degli integrali delle funzioni semplici che approssimano $f$:

$\int_E f \, \mathrm{d} \mu_w = \sup \left\{ \int s \,\mathrm{d} \mu_w^E : s < f, s\ \mbox{semplice}\,\right\}$,

dove $\mu_w^E(X) = \mu_w(E \cap X)$ su $E$, $\mu_w^E(X) = 0$, altrimenti.

Integrale di funzioni generiche

Nel caso più generale di una funzione $f: (\Omega, F) \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty \}$, si definiscono la parte positiva e la parte negativa della funzione:

$\int_E f \, \mathrm{d} \mu_w = \int_E f^+ \, \mathrm{d} \mu_w - \int_E f^- \, \mathrm{d} \mu_w$,

dove $f^+ = \max(0,f)$ e $f^- = \max(-f, 0)$.

È inoltre possibile svincolarsi dalla richiesta che la funzione $w$ cui è associata la misura sia non negativa; considerando infatti le funzioni $w_1 = \max(0,w)$ e $w_2 = \max(-w, 0)$ si può definire la misura

$\mu_w(E) = \mu_{w_1}(E) - \mu_{-w_2}(E)$,

e l'integrale di una funzione $f$ vale

$\int_E f \, \mathrm{d} \mu_v = \left( \int_E f^+ \, \mathrm{d} \mu_{w_1} - \int_E f^- \, \mathrm{d} \mu_{w_1} \right) - \left( \int_E f^+ \, \mathrm{d} \mu_{-w_2} - \int_E f^- \, \mathrm{d} \mu_{-w_2} \right)$.

Legami con gli altri integrali

Se $\mu_w$ è la misura di Lebesgue, l'integrale di Lebesgue-Stieltjes si riduce all'integrale di Lebesgue. Se invece la funzione integranda $f$ è a valori reali e $w$ è una funzione reale non descrescente, l'integrale si riduce a quello di Riemann-Stieltjes.

Bibliografia

• Georgii Evgen'evich Shilov; B. L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach (in inglese), Dover Publications, 1978. 0-486-63519-8

Voci correlate

• Integrale