Funzione a variazione limitata

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La funzione f(x)=sin(1/x), f(0)=0 non è a variazione limitata

In analisi matematica, una branca della matematica, una funzione di variabile reale si dice a variazione limitata se la sua "variazione totale" è finita. Intuitivamente, le funzioni a variazione limitata in una variabile sono quelle per cui la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico è finita in ogni intervallo finito. Una funzione che non è a variazione limitata è il cosiddetto "seno del topologo", cioè

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se }x =0 \\ \sin(1/x), & \mbox{se } x \neq 0 \end{cases}

se considerata in un qualsiasi intervallo che contenga lo 0, poiché all'avvicinarsi di x a 0, la curva presenta infinite oscillazioni tra -1 e 1.

In più dimensioni il significato della definizione è lo stesso, tranne per il fatto che il cammino dell'ipotetico punto non può essere tutto il grafico della funzione (che sarà in generale una superficie o una ipersuperficie), ma sarà ogni intersezione di tale grafico con un piano parallelo agli assi.

Le funzioni a variazione limitata rivestono una notevole importanza nell'integrale di Riemann-Stieltjes e nel calcolo delle variazioni, poiché risultano essere le scelte naturali per trovare la soluzione in problemi di superficie minima come il problema di Didone.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni di una variabile[modifica | modifica wikitesto]

Si definiscono innanzitutto le variazioni (rispettivamente positiva, negativa e totale) di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato a valori reali f:[a,b]\to\R come

P_a^b(f)=\limsup_{\delta(P)\to 0}\sum_{i=0}^{n_P-1} [ f(x_{i+1})-f(x_i) ]^+
N_a^b(f)=\limsup_{\delta(P)\to 0}\sum_{i=0}^{n_P-1} [ f(x_{i+1})-f(x_i) ]^-
V_a^b(f)=\limsup_{\delta(P)\to 0}\sum_{i=0}^{n_P-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |

dove P è un'arbitraria partizione dell'intervallo [a,b] e \delta(P) il suo calibro (ossia l'ampiezza del massimo intervallo della partizione); f^+ e f^- sono la parte positiva e parte negativa di una funzione.

Vale la relazione

V_a^b(f)=P_a^b(f)+N_a^b(f)

e che se la funzione è monotona a tratti, allora la sua variazione totale è la somma delle variazioni in ogni singolo intervallino di monotonia.

Si dice dunque che f è a variazione limitata e si scrive f\in BV[a,b] se V_a^b(f)< \infty.

Si può provare che f è a variazione limitata se e solo se si può scrivere come differenza di due funzioni monotone non decrescenti (decomposizione di Jordan). Una possibile decomposizione è ad esempio

f(x)=f(a)+P_a^x(f)-N_a^x(f)

in quanto variazione positiva e negativa sono quantità sempre maggiori o uguali a zero, quindi monotone al crescere dell'intervallo. Per lo stesso motivo, nella definizione di P, N e V si poteva prendere equivalentemente l'estremo superiore invece del limite superiore.

Funzioni di più variabili[modifica | modifica wikitesto]

Per funzioni di più variabili si possono dare due definizioni, che risultano equivalenti (\Omega sarà un insieme aperto in \R^n):

\int_\Omega f(x)\,\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x)\, dx = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Df(x)\rangle 
\qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega;\mathbb{R}^n),
cioè f definisce un funzionale lineare sullo spazio delle funzioni vettoriali a supporto compatto. Df rappresenta un gradiente debole di f.


  • Una f:\Omega \to \R integrabile si dice a variazione limitata, f\in BV(\Omega), se la sua variazione totale
 V(f,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega f\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}\colon \phi\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\}.
è finita.

Equivalenza delle definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Supponendo sia valida la prima definizione, allora V(f,\Omega) è esattamente la norma del funzionale (visto come operatore lineare continuo) che esiste per ipotesi, dunque è necessariamente finita.

Il viceversa si ottiene dalla disuguaglianza

\left|\int_\Omega f(x)\,\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}\, dx \right |\leq V(f,\Omega)\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)} \qquad \forall \boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)

che implica che \Phi \mapsto \int_\Omega f(x)\mbox{div}\Phi(x) è un funzionale lineare continuo sullo spazio C_c^1(\Omega;\R^n), che è un sottospazio lineare di C(\Omega;\R^n); tale funzionale si estende allora per linearità e continuità a tutto lo spazio grazie al teorema di Hahn-Banach, quindi definisce una misura di Radon.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La funzione f(x)=x^2 \sin (1/x) è a variazione limitata

È già stato dato un esempio di funzione che non è a variazione limitata. La stessa funzione, però, è a variazione limitata in ogni intervallo [\varepsilon,1] ad esempio, con \varepsilon > 0, poiché la "singolarità" è presente solo nell'origine. È quindi chiaro come questa sia una proprietà che dipende anche dalla forma del dominio.


Risulta essere a variazione limitata in [0,1] invece la funzione

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se }x =0 \\ x^2 \sin(1/x), & \mbox{se } x \neq 0 \end{cases}

Mentre pur essendo uniformemente continua non è variazione limitata la funzione in [0,1]

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{se } x \neq 0 \end{cases}

perché l'integrale del modulo della derivata diverge.

Un'importante classe di funzioni che risultano essere a variazione limitata sono le funzioni integrabili con derivata a sua volta integrabile, cioè gli elementi dello spazio di Sobolev W^{1,1}(\Omega) (in una variabile e su un intervallo limitato, questa classe non è altro che la classe delle funzioni assolutamente continue, a meno di rappresentanti).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In una variabile, dalla definizione risulta subito che una funzione BV è in particolare limitata. Inoltre, essa è derivabile quasi ovunque e ammette al più solo discontinuità di prima specie: questo discende dalla decomposizione di Jordan in differenza di due funzioni monotone (le funzioni monotone possiedono le proprietà dette). Risulta anche

\int_a^b |f'(x)| \leq V_a^b(f)

con l'uguaglianza valida se e solo se la funzione è assolutamente continua.

Sempre riguardo alla decomposizione di Jordan, P_a^b(f) e N_a^b(f) sono le funzioni monotone "minimali" per cui valga la rappresentazione, nel senso che se

f(x)=f(a)+g(x)-h(x),

con g e h monotone, allora

g\geq P_a^b(f) e h\geq N_a^b(f).

In generale, lo spazio funzionale BV(\Omega) è uno spazio vettoriale: risulta essere uno spazio di Banach se munito della norma

\|f\|_{BV(\Omega)}=\|f\|_{L^1(\Omega)}+V(f,\Omega)

Sempre riguardo agli aspetti di analisi funzionale, si dimostra anche che il funzionale variazione V(\cdot,\Omega) è semicontinuo inferiormente rispetto alla norma di L^1(\Omega), cioè se f_n \to f in norma L^1, allora

V(f,\Omega) \leq \liminf_n V(f_n,\Omega).

Per le funzioni BV vale una versione leggermente modificata della regola della catena: se f \in C^1 (\R^p) e u\in BV(\Omega) allora f(u) \in BV (\Omega) e

\frac{\partial f(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}))}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^p\frac{\partial\bar{f}(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}))}{\partial u_k}\frac{\partial{u_k(\boldsymbol{x})}}{\partial x_i}
\qquad\forall i=1,\ldots,n

dove

\bar f(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}))=\int_0^1 f\left(\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{\hat a}}(\boldsymbol{x})t + \boldsymbol{u}_{-\boldsymbol{\hat a}}(\boldsymbol{x})(1-t)\right)dt

è il valor medio della funzione nel punto x. Da questo teorema discende anche che il prodotto di due funzioni BV è ancora BV; ciò rende lo spazio BV(\Omega) un'algebra di Banach.

Osservazione: è possibile dimostrare che il prodotto di due funzioni a variazione limitata è ancora una funzione a variazione limitata senza fare ricorso alle derivate. In questo caso il risultato si estende alle funzioni a variazione limitata da un intervallo [0,T] a uno spazio di Banach X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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