Integrale di Riemann-Stieltjes

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Una generalizzazione di questo operatore è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Date due funzioni di variabile reale f ,\, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, sia x_0 = a < x_1 < x_2 < \ldots < x_i < \ldots < x_n = b una partizione dell'intervallo [a,b] \subset \mathbb{R}. Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione si consideri un punto c_i \in \left[x_i, x_{i + 1} \right]. Il calibro \delta (P ) della partizione P è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione:

\delta (P ) = \max_{x_i \in P} |x_{i + 1} - x_i |

L'integrale di Riemann-Stieltjes di f rispetto a g, denotato da:

\int_a^b f(x) \mathrm{d}g(x)

è definito come il seguente limite:

\lim_{\delta( P )\rightarrow 0} \sum_{x_i \in P} f(c_i) (g(x_{i+1}) - g(x_i))

se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti c_i. La funzione f è definita integranda, mentre g è la funzione integratrice.

Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che g sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.

Legami con gli altri tipi di integrali[modifica | modifica wikitesto]

Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione g è di classe C^1, ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann:

\int_a^b f(x) g^\prime(x)\mathrm{d}x

In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.

È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.

Fisica[modifica | modifica wikitesto]

In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:

M = \int \mathrm{d}\mu = \int \rho \mathrm{d}V

L'ultima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).

Distribuzioni di probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione di ripartizione g di una variabile aleatoria X; la derivata di g è la sua densità di probabilità. Data una funzione f per cui il valore atteso E(|f(X)|) è finito, vale la formula:

E(f(X)) = \int_{-\infty}^\infty f(x) g^\prime(x) \mathrm{d}x

Se per la variabile aleatoria X non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se X ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di f(X) come:

E(f(X)) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{d}g

per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.

Analisi funzionale[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue C[a,b] sull'intervallo [a,b] \subset \mathbb{R} si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]