Integrale di Riemann-Stieltjes

In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Definizione

Date due funzioni di variabile reale $f ,\, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, sia $x_0 = a < x_1 < x_2 < \ldots < x_i < \ldots < x_n = b$ una partizione dell'intervallo $[a,b] \subset \mathbb{R}$. Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione estraiamo un punto $c_i \in \left[x_i, x_{i + 1} \right]$; definiamo inoltre il calibro della partizione $P$ come l'ampiezza del suo sottointervallo più grande:

$\delta (P ) = \max_{x_i \in P} |x_{i + 1} - x_i |$.

L'integrale di Riemann-Stieltjes di $f$ rispetto a $g$, denotato da

$\int_a^b f(x) \mathrm{d}g(x)$,

è definito come il seguente limite:

$\lim_{\delta( P )\rightarrow 0} \sum_{x_i \in P} f(c_i) (g(x_{i+1}) - g(x_i))$,

se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti $c_i$. La funzione $f$ è definita integranda, mentre $g$ è la funzione integratrice.

Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che $g$ sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.

Legami con gli altri tipi di integrali

Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione $g$ è di classe $C^1$, ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann

$\int_a^b f(x) g^\prime(x)\mathrm{d}x$.

In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.

È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.

Applicazioni

L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.

Fisica

In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:

$M = \int \mathrm{d}\mu = \int \rho \mathrm{d}V$.

L'ultima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).

Distribuzioni di probabilità

Consideriamo una funzione di ripartizione $g$ di una variabile aleatoria $X$; la derivata di $g$ è la sua densità di probabilità. Data una funzione $f$ per cui il valore atteso $E(|f(X)|)$ è finito, vale la formula:

$E(f(X)) = \int_{-\infty}^\infty f(x) g^\prime(x) \mathrm{d}x$.

Se per la variabile aleatoria $X$ non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se $X$ ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di $f(X)$ come

$E(f(X)) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{d}g$,

per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.

Analisi funzionale

Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue $C[a,b]$ sull'intervallo $[a,b] \subset \mathbb{R}$ si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.

Bibliografia

• Georgii Evgen'evich Shilov; B. L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach (in inglese), Dover Publications, 1978. 0-486-63519-8
• Daniel W. Stroock, A Concise Introduction to the Theory of Integration, 3^a ed. (in inglese), Birkhauser, 1998. 0-8176-4073-8

Voci correlate

• Integrale
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes