Supporto (matematica)

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In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura \mu su uno spazio misurabile (X,\mathcal{A}), il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di X i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio topologico, e Y uno spazio vettoriale. Sia:

f: \Omega\subseteq X \to Y

Si definisce supporto di f l'insieme:[1]

\mathrm{supp}\, f := \overline{\{ \mathbf{x} \in \Omega\, t.c. \, f(\mathbf{x})\ne \mathbf{0} \} }

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura[modifica | modifica wikitesto]

Il supporto di una misura \mu su uno spazio misurabile (X,\mathcal{A}) è la chiusura del sottoinsieme di X i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia (X,\mathcal{A},\mu) uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

\mathrm{supp} \, \mu := \overline{\{x\in X \, : \forall N \ni x, \, \mu (N)>0\}}

Curve[modifica | modifica wikitesto]

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia \mathbf{r} la parametrizzazione di una curva:

\mathbf{r}: I \subseteq \R \to \R^n

allora il suo supporto \Gamma è l'insieme:

\Gamma = \{\mathbf{x} \in \R^n  \, t.c. \, \exists t \in I,\, \mathbf{x}=\mathbf{r}(t) \}

oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:

\Gamma = \mathbf{r}(I)

Si nota che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva \gamma_1(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi] e la curva \gamma_2(t)=(\cos t,\sin t), t\in [0,3\pi] hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.

Supporto singolare[modifica | modifica wikitesto]

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione 1/x eccetto per il punto x=0. Nello specifico, essa ha la forma:


\hat{H}(s) = \lim_{N\to\infty}\int^N_{-N} \mathrm{e}^{-2\pi i x s} H(x)\,\mathrm{d}x  = \frac{1}{2} \left( \delta(s) - \frac{i}{\pi}\mathrm{p.v.}\frac{1}{s} \right)

La trasformata possiede quindi un supporto singolare \{ 0 \} e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) \mathrm{p.v.} 1/s che associa alla funzione di test \varphi il valore principale di Cauchy di:

\int^{\infty}_{-\infty} \varphi(s)/s\,\mathrm{d}s

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 36

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
  • (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
  • (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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