Disuguaglianza di Hölder

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In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si riferisce agli spazi di funzioni noti come spazi Lp.

La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.[1]

La disuguaglianza[modifica | modifica sorgente]

Sia \Omega uno spazio di misura con misura \mu e p \geq 1. Sia p' \geq 1 il numero tale che:

{1 \over p} + {1 \over p'}=1

ovvero:

p + p' = pp'

dove si ha un valore infinito di p' se p=1. Una tale coppia di numeri è detta esponenti coniugati.

La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili f \in L^p (\Omega) e g\in L^{p'}(\Omega), si ha che f g \in L^1 (\Omega) e:[2]

\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_{p'}

Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente:

\int_\Omega fg d\mu \le \left[ \int_\Omega |f|^p d\mu \right]^{1 \over p} \left[ \int_\Omega |g|^{p'} d\mu \right]^{1 \over {p'}}

La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per p=p'=2. Il numero p' è detto coniugato di Hölder di p.

Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti non nulle a e b tali che:

af^p =bg^{p'}

quasi ovunque in \Omega.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio \|f\|_p) è zero, allora vuol dire che f=0 quasi ovunque; dunque anche fg=0 quasi ovunque e quindi \|fg\|_1=0 e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio p) è +\infty, allora è p'=1 e:

|fg|\leq \|f\|_{\infty} |g|

quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.

Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:

\frac{|f(x)|}{\|f\|_p} \cdot \frac{|g(x)|}{\|g\|_{p'}}\leq \frac{1}{p} \left( \frac{|f(x)|}{\|f\|_p}\right) ^p +\frac{1}{p'}\left(\frac{|g(x)|}{\|g\|_{p'}}\right)^{p'}

per quasi ogni x \in \Omega. Integrando entrambi i membri si ottiene:

\frac{1}{\|f\|_p\|g\|_{p'}}\int_{\Omega}|fg|d\mu =\frac{\|fg\|_1}{\|f\|_p\|g\|_{p'}} \leq \frac{\|f\|_p^p}{p \|f\|^p_p} +\frac{\|g\|_{p'}^{p'}}{p' \|g\|^{p'}_{p'}}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1

Disuguaglianza di Hölder per numeri reali[modifica | modifica sorgente]

Nel caso molto particolare dello spazio euclideo \R^n, la disuguaglianza prende la seguente forma:

\sum_{i=1}^n |x_i y_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^\frac1{p} \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^{p'}\right)^\frac1{p'}

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica sorgente]

Posti:

a_i = \frac{|x_i|}{\left( \sum |x_j|^p \right)^{\frac{1}{p}}}

e:

b_i = \frac{|y_i|}{\left( \sum |y_j|^{p'} \right)^{\frac{1}{p'}}}

la disuguaglianza è:

\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq 1

Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:

\ln (a_i b_i)=\frac{1}{p}\ln \left(a_i ^p \right) + \frac{1}{p'}\ln \left(b_i ^{p'} \right) \le \ln \left(\frac{1}{p}a_i^p+\frac{1}{p'}b_i ^{p'} \right)

quindi per monotonia:

a_i b_i \le \frac{1}{p}a_i ^p + \frac{1}{p'}b_i ^{p'}

Sommando si ottiene la tesi.

Generalizzazione[modifica | modifica sorgente]

Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano f_1, \dots ,f_k tali che f_i \in L^{p_i}, con:

\frac{1}{p}=\sum_{i=1}^k \frac{1}{p_i}\leq 1

Allora:

f=f_1 f_2 \dots f_k \in L^p

e si ha:

\|f\|_p\leq \|f_1\|_{p_1} \|f_2\|_{p_2} \dots \|f_k\|_{p_k}

Generalizzazione nei numeri reali[modifica | modifica sorgente]

Siano (a_{11},\ldots,a_{1n}), (a_{21},\ldots,a_{2n}), \ldots, (a_{m1},\ldots,a_{mn}) m n-uple di numeri reali e siano p_1,\ldots, p_m dei reali tali che:

\frac{1}{p_1}+\ldots+\frac{1}{p_m}=1

Allora:

\left(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}\cdot\ldots\cdot a_{mi}\right)
\le\left(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}^{p_1}\right)^{\frac{1}{p_1}}\cdot\ldots\cdot
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{mi}^{p_m}\right)^{\frac{1}{p_m}}

Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi L^p, la disuguaglianza di interpolazione. Se:

f \in L^p \cap L^q

allora f \in L^r per ogni p\le r \le q e:

\|f\|_r \le \|f\|_p^{\alpha} \|f\|_q^{1-\alpha}

con \alpha \in [0,1] tale che:

\frac{1}{r}=\frac{\alpha}{p}+\frac{1-\alpha}{q}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Leonard James Rogers in The MacTutor History of Mathematics. URL consultato il 19 giugno 2013.
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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