Spazio Lp

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In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, uno spazio L^p è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Gli spazi L^p, dove p è un reale maggiore o uguale a 1 (al limite infinito), sono spazi di Banach; lo spazio L² è anche uno spazio di Hilbert.

Indice 1 Definizione 1.1 Caso finito 1.2 Caso infinito 1.3 Estensioni 2 Proprietà 2.1 Caso p = 2 2.2 Disuguaglianza di Hölder 2.3 Dualità 2.4 Separabilità 3 Relazioni di inclusione tra spazi Lp 3.1 Condizioni di compattezza negli spazi Lp 4 Voci correlate

[modifica] Definizione

[modifica] Caso finito

Sia e A un aperto dello spazio euclideo (si può considerare più in generale anche uno spazio di misura). Consideriamo l'insieme V delle funzioni misurabili f definite su A e a valori reali (o complessi) tali che la quantità

[1]

sia un numero finito (queste funzioni si dicono a potenza p-esima sommabile o p-sommabili): il fatto che

rende l'insieme V un sottospazio dello spazio vettoriale formato da tutte le funzioni definite su A (questo sta semplicemente a significare che la somma di due o più funzioni p-sommabili è ancora p-sommabile). Da ciò la quantità [1] eredita la proprietà fondamentale delle norme, la disuguaglianza triangolare (il termine 1/p è necessario affinché valga la proprietà di omogeneità). Va tuttavia osservato che la [1] a rigore individua solo una seminorma, a causa della presenza di funzioni non nulle con norma nulla (cioè le funzioni nulle quasi ovunque).

Per eliminare queste funzioni, si identificano due funzioni f e g quando la loro differenza f − g ha norma nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una vera norma, che viene detta norma p. Questo spazio normato è lo spazio L^p(A). Poiché la norma risulta essere completa, questo è uno spazio di Banach.

[modifica] Caso infinito

La norma

detta norma uniforme, definisce come sopra uno spazio di Banach, denotato , lo spazio delle funzioni limitate quasi ovunque. Se A è compatto, questo insieme contiene come sottospazio proprio lo spazio delle funzioni continue.

La motivazione dell'apice ∞ è che si dimostra che la norma uniforme è uguale al limite della norma p di f al tendere di p ad infinito.

[modifica] Estensioni

Gli spazi L^p possono essere definiti prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso si indica generalmente con

Una generalizzazione ancora più accentuata sostituisce agli insiemi numerici considerati un arbitrario spazio di Banach X. In tal caso, la norma p sarà definita come

dove è la norma dello spazio X.

[modifica] Proprietà

[modifica] Caso p = 2

Nello spazio L² delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto scalare

(il complesso coniugato di f(x) è utile solo nel caso in cui le funzioni sono a valori complessi), e quindi uno spazio L²(A) è uno spazio di Hilbert.

Il caso p = 2 è veramente speciale: in uno spazio L^p con p diverso da 2 la norma non è mai indotta da un prodotto scalare.

[modifica] Disuguaglianza di Hölder

Se p, q sono reali e positivi tali che e se , allora e vale:

[modifica] Dualità

Se p è un valore finito e diverso da 1, lo spazio duale continuo di L^p, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a L^q, dove q è tale che

L'isomorfismo associa a il funzionale G dato da

(il complesso coniugato è utile solo nel caso complesso).

Poiché la relazione 1/p + 1/q = 1 è simmetrica, L^p è uno spazio riflessivo, cioè il duale continuo del duale continuo di L^p (detto spazio biduale continuo) è naturalmente isomorfo a L^p.

Per p = 1, il duale di L¹ è isomorfo a , ma non è valido il viceversa: il duale di è uno spazio vettoriale "più grande" di L¹ e per questo motivo L¹ non è riflessivo.

[modifica] Separabilità

Ogni spazio L^p con p < ∞ costruito da un aperto dello spazio euclideo è separabile e un suo sottoinsieme denso è costituito dallo spazio generato dalle funzioni semplici su un compatto a coefficienti razionali.

Lo spazio non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di A è infinita.

[modifica] Relazioni di inclusione tra spazi L^p

Si può vedere che se la misura dell'insieme A è finita, al crescere di p lo spazio L^p "decresce". Per esempio, la funzione

è in L¹(0,2), ma non in L²(0,2), poiché il suo quadrato è , che non è sommabile in un intorno dello 0. Si dimostra che in questo caso vale appunto che L^q è un sottospazio di L^p per ogni p < q e che la norma di una funzione varia di una quantità dipendente dalla misura dell'insieme.

Questo fatto ci permette di stimare a prima vista se una funzione razionale fratta appartiene o meno ad esempio a L²: questo è vero, in particolare, se la differenza di grado tra numeratore e denominatore è strettamente maggiore di uno.

[modifica] Condizioni di compattezza negli spazi L^p

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[modifica] Voci correlate

• Spazio l²
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert
• Convoluzione
• Trasformata di Fourier