Matrice hessiana

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, la matrice hessiana di una funzione di n variabili a valori in un campo di scalari, anche detta matrice di Hesse o semplicemente hessiana, è la matrice quadrata n × n delle derivate parziali seconde della funzione. Il nome è dovuto a Ludwig Otto Hesse.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione reale di n variabili reali  f (\mathbf{x}): \R^n \to \R , se tutte le sue derivate parziali seconde esistono allora si definisce matrice hessiana della funzione f la matrice  \operatorname H f (\mathbf{x}) data da:


  \operatorname  H f = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} \qquad  (\operatorname H f)_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}

cui si associa l'operatore:

 \operatorname H_{ij} = \frac{\partial^2}{\partial x_i\, \partial x_j}

L'hessiana di fatto rappresenta la jacobiana del gradiente (come vettore riga), sinteticamente:

\operatorname H = \operatorname J \cdot \nabla

Derivate miste e simmetria dell'hessiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Schwarz.

Gli elementi fuori dalla diagonale principale nell'hessiana sono le derivate miste della funzione f. Con opportune ipotesi, vale il teorema seguente:

\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

Questa uguaglianza si scrive anche come:

\partial_{xy} f = \partial_{yx} f

In termini formali: se tutte le derivate seconde di f sono continue in una regione \Omega, allora l'hessiana di f è una matrice simmetrica in ogni punto di \Omega. La veridicità di questa affermazione è nota come teorema di Schwarz.

Punti critici e discriminante[modifica | modifica wikitesto]

Se il gradiente della funzione f è nullo in un punto \mathbf x appartenente al dominio della funzione, allora f in \mathbf x ha un punto critico. Il determinante dell'hessiana (detto semplicemente hessiano) in \mathbf x è anche detto discriminante in \mathbf x. Se questo determinante è zero allora \mathbf x è chiamato punto critico degenere della f. Negli altri punti viene chiamato non degenere.

Test per la derivata seconda[modifica | modifica wikitesto]

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico non degenere \mathbf x:

Altrimenti il test è inconclusivo. Nota che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.

Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici.

In una variabile, l'hessiana contiene appena una derivata seconda:

  • se questa è positiva allora x è un minimo locale, se questa è negativa allora x è un massimo locale;
  • se questa è zero allora il test è inconclusivo.

In due variabili, può essere usato il determinante, perché è il prodotto degli autovalori:

  • se questo è positivo allora gli autovalori sono entrambi positivi, o entrambi negativi;
  • se questo è negativo allora i due autovalori hanno differente segno;
  • se questo è zero, allora il test della derivata seconda è inconclusivo.

Funzioni a valori vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Se f è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se

 f : \R^m \to \R^n

allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Binmore e Davies, Calculus Concepts and Methods, Cambridge University Press, 2007, p. 190.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica