Matrice definita positiva

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata tale per cui, detto \mathbf x^* il trasposto complesso coniugato di \mathbf x, si verifica che la parte reale di \mathbf x^* A \mathbf x è positiva per ogni vettore complesso \mathbf x \ne \mathbf 0.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice A quadrata (di dimensioni n \times n) si dice definita positiva quando:[1]

\Re(\mathbf x^* A \mathbf x)>0 \qquad \forall \mathbf x \ne \mathbf 0 \in \mathbb{C}^n

ovvero quando il prodotto \mathbf x^* A \mathbf x, che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo \mathbf x \in \mathbb{C}^n (indicando con \mathbf x^* il vettore complesso coniugato trasposto del vettore \mathbf x).

In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:

A_H = \frac{(A+A^*)}{2}

è definita positiva, ovvero \Re(\mathbf x^* A_H \mathbf x)>0 per \mathbf x \ne \mathbf 0 \in \mathbb{C}^n .

Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana A_H sono strettamente positivi.[1]

Matrici hermitiane[modifica | modifica sorgente]

Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana M di dimensione n\times n è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

  • Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
  • Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
  • Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
  • Se M è definita positiva e r>0 è un numero reale, allora rM è definita positiva.
  • Se M e N sono definite positive, allora M+N è anch'essa definita positiva; se inoltre MN=NM, cioè le matrici commutano, allora MN è anch'essa definita positiva.
  • Ogni matrice definita positiva M ha una radice quadrata, cioè una matrice N tale che N^TN = M. Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
  • Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è (n.0) dove n è il rango della matrice.
  • Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali sono tutti positivi.

Matrici definite negative, semidefinite e indefinite[modifica | modifica sorgente]

La matrice hermitiana M si dice definita negativa se:

\mathbf x^* M \mathbf x<0

per tutti gli elementi non nulli \mathbf x in \R^n (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli \mathbf x in \C^n).

La matrice M è chiamata semidefinita positiva se:

\mathbf x^* M \mathbf x \ge 0

Per tutti gli \mathbf x in \R^n (o \C^n) si dice invece semidefinita negativa se:

\mathbf x^* M \mathbf x \le 0

per tutti gli \mathbf x in \R^n (o \mathbb{C}^n). Come sopra, \mathbf x^* indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui \mathbf x sia un vettore in \R^n, questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere \mathbf x^T al posto di \mathbf x^*.

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

Prodotti scalari e forme hermitiane[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto scalare e Forma sesquilineare.

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia K un campo \mathbb{R} o \mathbb{C}, V uno spazio vettoriale su K, e B\colon V \times V \to K una forma hermitiana se K=\mathbb{C} o un prodotto scalare se K=\C. La forma B è chiamata definita positiva se B(\mathbf x,\mathbf x)<0 per ogni \mathbf x in V diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a V una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Forme quadratiche[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Forma quadratica.

La forma quadratica associata ad una matrice reale M è la funzione Q: \R^n \to \R tale che Q(\mathbf x) = \mathbf x^T M \mathbf x per tutti gli \mathbf x. La matrice M è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.

Più in generale, ogni polinomio di secondo grado P : \R^n \to \R può essere scritto come  \mathbf x^T M \mathbf x + \mathbf x^T \mathbf b + c, dove M è una matrice simmetrica n \times n, \mathbf b è un vettore reale e c una costante. La funzione P è strettamente convessa se M è definita positiva.

Diagonalizzazione simultanea[modifica | modifica sorgente]

Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per simiitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se M è simmetrica e N è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:

(M-\lambda N)\mathbf x = \mathbf 0

dove si impone che \mathbf x sia normalizzato, cioè \mathbf x^T N \mathbf x = 1. Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di N come Q^T Q. Moltiplicando per Q e Q^T si ottiene:

Q(M-\lambda N)QT \mathbf x = \mathbf 0

che può essere riscritta come:

(QMQ^T)\mathbf y = \lambda \mathbf y

dove \mathbf y^T \mathbf y = 1. Tramite alcune manipolazioni si ottiene:

MX = NX \Lambda

dove X è una matrice avente come colonne gli autovettori generalizzati e \Lambda è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati. Moltiplicando quindi per X^T si ha:

X^T MX = \Lambda \qquad X^T NX = I

anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b (EN) Eric W. Weisstein, Positive definite matrix in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Marius Stoka, Corso di geometria, CEDAM, 1995, ISBN 88-13-19192-8.
  • (EN) Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.
  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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