Matrice definita positiva

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata, che ha proprietà analoghe ai numeri reali positivi.

Definizione generale[modifica | modifica sorgente]

Nonostante la definizione solitamente si applichi soprattutto a matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice A quadrata (di dimensioni n×n) si dice definita positiva quando[1]:

\mbox{Re }(\mathbf x^* A \mathbf x)>0 \qquad \forall \mathbf x \in \mathbb{C}^n \; \mbox{con} \; \mathbf x \ne \mathbf 0

ovvero quando il prodotto x* A x, che è sempre un numero complesso (\in \mathbb{C}), ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo \mathbf x \in \mathbb{C}^n (indicando con x* il vettore complesso coniugato trasposto del vettore x).

Definizioni generali equivalenti[modifica | modifica sorgente]

  • Una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana (AH) è definita positiva, ovvero se[1]:
    \mbox{Re }(\mathbf x^* A_H \mathbf x)>0 \qquad \forall \mathbf x \in \mathbb{C}^n \; \mbox{con} \; \mathbf x \ne \mathbf 0
    con A_H = \frac{(A+A^*)}{2}
  • Una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana (AH) sono strettamente positivi[1].

Definizione applicata alle matrici hermitiane[modifica | modifica sorgente]

Poiché una matrice simmetrica reale (che è una forma molto comune) è anche hermitiana, diamo la definizione nel contesto più ampio delle matrici hermitiane (complesse e reali).

Una matrice hermitiana M n\times n è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

  • Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
  • Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
  • Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
  • Se M è definita positiva e r>0 è un numero reale, allora rM è definita positiva.
  • Se M e N sono definite positive, allora M+N è anch'essa definita positiva; se inoltre MN=NM, cioè le matrici commutano, allora MN è anch'essa definita positiva.
  • Ogni matrice definita positiva M ha una radice quadrata, cioè una matrice N tale che N^TN = M. Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
  • Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è (n.0) dove n è il rango della matrice.
  • Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali sono tutti positivi.

Matrici definite negative, semidefinite e indefinite[modifica | modifica sorgente]

La matrice hermitiana M si dice definita negativa se

x^*Mx<0

per tutti gli elementi non nulli x in \mathbb{R}^n (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli x in \mathbb{C}^n).

La matrice M è chiamata semidefinita positiva se

x^* M x \ge 0

Per tutti gli x in \mathbb{R}^n (o \mathbb{C}^n) si dice invece semidefinita negativa se

x^* Mx \le 0

per tutti gli x in R^n (o \mathbb{C}^n).

Come sopra, x^* indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui x sia un vettore in R^n, questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere x^T al posto di x^*.

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

Prodotti scalari e forme hermitiane[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi prodotto scalare e forma hermitiana.

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza.

Sia K un campo \mathbb{R} o \mathbb{C}, V uno spazio vettoriale su K, e

B\colon V \times V \to K

una forma hermitiana se K=\mathbb{C} o un prodotto scalare se K=\mathbb{C} La forma B è chiamata definita positiva se B(x,x)<0 per ogni x in V diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a V una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b c http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html Positive definite matrix

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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