Punto di sella

Un punto di sella (in rosso) del grafico di z=x²−y².

In analisi matematica, un punto di sella di una funzione reale di più variabili reali $f:\R^n \to \R$ è un punto critico P del dominio della f in cui la matrice hessiana risulti indefinita: vale a dire non sia né una matrice semidefinita positiva, né una matrice semidefinita negativa. Ciò è equivalente a dire che la matrice hessiana ha un autovalore strettamente positivo ed uno strettamente negativo.

Nel caso n = 2, il grafico della funzione ha una forma intorno a P che ricorda la sella di un cavallo. In particolare, esistono due rette passanti per P tali che, per la restrizione di f su queste rette, P è rispettivamente punto di minimo e punto di massimo relativo.

Esempio

Sia $f(x,y) = x^2 - y^2\;$

Nel punto $P = (0,0)\;$ abbiamo un punto stazionario dato che il gradiente è nullo: infatti

${{\partial f} \over {\partial x}}\left( {x{\rm ,}} y \right) = 2x \to {{\partial f} \over {\partial x}}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) = 2\cdot 0 = 0\;$

${{\partial f} \over {\partial y}}\left( {x{\rm ,}} y \right) = -2y \to {{\partial f} \over {\partial y}}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) = -2\cdot 0 = 0\;$

La forma quadratica della funzione, nel punto $P = (0,0)\;$, è data dall'espressione sottostante:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) \cdot a^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \left( {0{\rm ,}} 0 \right) \cdot ab + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) \cdot b^2\;$

Ma:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left( {x{\rm ,}} y \right) = 2;$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \left( {x{\rm ,}} y \right) = 0;$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\left( {x{\rm ,}} y \right) = -2;$

pertanto, nel punto $P = (0,0)\;$, si ha:

$2a^2 - 2b^2\;$

Si può ora verificare semplicemente (ad esempio tramite la matrice hessiana corrispondente) che la forma quadratica non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa, per cui risulta essere indefinita, e quindi il punto (0,0) è un punto di sella. La matrice hessiana è:

$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

Visto che la matrice hessiana è già in forma diagonale, si vede anche immediatamente che gli autovalori sono 2 e -2: avendo sia un autovalore positivo che uno negativo, la matrice hessiana è, per l'appunto, indefinita.

Si può anche osservare che in questo esempio la forma hessiana è $2a^2 - 2b^2\;$ in ogni punto, non solo in $(0,0)$. Questo non è casuale: dipende dal fatto che la funzione data era un polinomio di secondo grado e pertanto le sue derivate parziali seconde sono costanti.

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