Punto di sella

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un punto di sella (in rosso) del grafico di z=x2−y2.

In analisi matematica, un punto di sella di una funzione reale di più variabili reali f:\R^n \to \R è un punto critico P del dominio della f in cui la matrice hessiana risulti indefinita: vale a dire non sia né una matrice semidefinita positiva, né una matrice semidefinita negativa. Ciò è equivalente a dire che la matrice hessiana ha un autovalore strettamente positivo ed uno strettamente negativo.

Nel caso n = 2, il grafico della funzione ha una forma intorno a P che ricorda la sella di un cavallo. In particolare, esistono due rette passanti per P tali che, per la restrizione di f su queste rette, P è rispettivamente punto di minimo e punto di massimo relativo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia f(x,y) = x^2 - y^2\;

Nel punto P = (0,0)\; abbiamo un punto stazionario dato che il gradiente è nullo: infatti

{{\partial f} \over {\partial x}}\left( {x{\rm ,}} y \right) = 2x  \to  {{\partial f} \over {\partial x}}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) = 2\cdot 0 = 0\;
{{\partial f} \over {\partial y}}\left( {x{\rm ,}} y \right) = -2y  \to  {{\partial f} \over {\partial y}}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) = -2\cdot 0 = 0\;

La forma quadratica della funzione, nel punto P = (0,0)\;, è data dall'espressione sottostante:

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) \cdot a^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \left( {0{\rm ,}} 0 \right) \cdot ab + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\left( {0{\rm ,}} 0 \right) \cdot b^2\;

Ma:

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left( {x{\rm ,}} y \right) = 2;
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \left( {x{\rm ,}} y \right) = 0;
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\left( {x{\rm ,}} y \right) = -2;

pertanto, nel punto P = (0,0)\;, si ha:

2a^2 - 2b^2\;

Si può ora verificare semplicemente (ad esempio tramite la matrice hessiana corrispondente) che la forma quadratica non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa, per cui risulta essere indefinita, e quindi il punto (0,0) è un punto di sella. La matrice hessiana è:

\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2 
\end{bmatrix}

Visto che la matrice hessiana è già in forma diagonale, si vede anche immediatamente che gli autovalori sono 2 e -2: avendo sia un autovalore positivo che uno negativo, la matrice hessiana è, per l'appunto, indefinita.

Si può anche osservare che in questo esempio la forma hessiana è 2a^2 - 2b^2\; in ogni punto, non solo in (0,0). Questo non è casuale: dipende dal fatto che la funzione data era un polinomio di secondo grado e pertanto le sue derivate parziali seconde sono costanti.

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica