Gradiente
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In matematica il gradiente di un campo scalare è una funzione a valori reali di più variabili reali, quindi definita in una regione di uno spazio a 2, 3 o più dimensioni, è definito come il vettore che ha per componenti cartesiane le derivate parziali della funzione. Il gradiente rappresenta quindi la direzione di massimo incremento di una funzione di
variabili
.
Il gradiente è quindi una grandezza vettoriale che indica come una grandezza fisica varii in funzione dei suoi diversi parametri.
Indice |
[modifica] Definizione
Per una funzione di due variabili,
, con X aperto di
il suo gradiente nel punto (x0,y0) si definisce come un vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto:

In
si definisce similmente:

In
si definisce:

dove con
si indica il versore della direzione i-esima con tutti gli elementi nulli tranne l'i-esimo che vale 1.
[modifica] Campo vettoriale gradiente
Il gradiente di una funzione differenziabile scalare su 
individua un campo vettoriale - il campo gradiente di f - associando ad ogni
il vettore
dato dal gradiente di f in x.
Proprietà:
- Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo.
- Dimostrazione: se si calcola l' integrale di linea lungo una qualunque curva
che sia chiusa, cioè tale che γ(0) = γ(1) si ottiene:
- Dimostrazione: se si calcola l' integrale di linea lungo una qualunque curva
-
-
. 
-
- Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare f sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di f, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana
al variare di
.
- Dimostrazione: i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da
, consideriamo un generico vettore v tangente ad una superficie di livello in un punto
. Sia
una curva tale che
, che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in x è
. Mostriamo che v è
sono ortogonali: poiché
è su una superficie di livello si ha
, cioè derivando
. La tesi segue per l'arbitrarietà di x e v. 
- Dimostrazione: i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da
[modifica] Espressione del gradiente in altre coordinate
[modifica] Gradiente in coordinate polari
In
possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare:
Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, mentre φ rappresenta la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione
basterà eseguire la trasformazione:
.
Ricordando che:
si ottengono le seguenti derivate:
.
Per i versori:
Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente:
-
-
-
-
.
-
-
-
Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:
[modifica] Gradiente in coordinate sferiche
In
possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle sferiche:
Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:
[modifica] Gradiente in coordinate cilindriche
In
possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle cilindriche:
Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate cilindriche diventa il vettore:
[modifica] Voci correlate
- Funzione differenziabile
- Calcolo vettoriale
- Derivata parziale
- Derivata direzionale, definibile anche tramite il gradiente della funzione
- Potenziale vettore, definito a meno del gradiente di una funzione
- Divergenza
- Gradiente ionico
- Jacobiano
- Nabla
- Rotore
- Subgradiente





















