Gradiente

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In matematica il gradiente di un campo scalare è una funzione a valori reali di più variabili reali, quindi definita in una regione di uno spazio a 2, 3 o più dimensioni, è definito come il vettore che ha per componenti cartesiane le derivate parziali della funzione. Il gradiente rappresenta quindi la direzione di massimo incremento di una funzione di $n\;$ variabili $\,f(x_1,x_2,...,x_n)\,$ .

Il gradiente è quindi una grandezza vettoriale che indica come una grandezza fisica varii in funzione dei suoi diversi parametri.

Indice

1 Definizione
2 Campo vettoriale gradiente
3 Espressione del gradiente in altre coordinate
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Per una funzione di due variabili, $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ , con X aperto di $\mathbb{R}^2$ il suo gradiente nel punto $(x 0, y 0)$ si definisce come un vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto:

$\mathrm{grad}~f(x_0,y_0) = \vec \nabla f(x_0,y_0) = \left( \begin{matrix} f_x (x_0, y_0) \\ f_y \left(x_0, y_0 \right) \end{matrix} \right)$

$= \mathbf{i}\;{\partial f(x,y)\over\partial x} + \mathbf{j}\; {\partial f(x,y)\over\partial y}$

In $\mathbb{R}^3$ si definisce similmente:

$\mathrm{grad}~f(x_0,y_0,z_0) = \vec \nabla f(x_0,y_0,z_0) = \left( \begin{matrix} f_x (x_0,y_0,z_0) \\ f_y(x_0,y_0,z_0) \\ f_z(x_0,y_0,z_0) \end{matrix} \right)$

$= \mathbf{e}_x\; {\partial f(x,y,z)\over\partial x} ~+~ \mathbf{e}_y\; {\partial f(x,y,z)\over\partial y} ~+~ \mathbf{e}_z\; {\partial f(x,y,z)\over\partial z}$

In $\mathbb{R}^n$ si definisce:

$\mathrm{grad}~f(x_{1},...,x_{n}) = \vec \nabla f(x_{1},...,x_{n}) =$

$= \mathbf{e}_1~ {\partial f(x_{1},...,x_{n})\over\partial x_1} + \cdots + \mathbf{e}_n~ {\partial f(x_{1},...,x_{n})\over\partial x_n}$

dove con $\mathbf{e}_i$ si indica il versore della direzione $i$ -esima con tutti gli elementi nulli tranne l' $i$ -esimo che vale 1.

[modifica] Campo vettoriale gradiente

Campo vettoriale del gradiente di due funzioni visualizzate mediante la densità della colorazione

Il gradiente di una funzione differenziabile scalare su $X \subset \mathbb R ^n$

$f: X \rightarrow \mathbb{R}$

individua un campo vettoriale - il campo gradiente di $f$ - associando ad ogni $x \in \mathbb R ^n$ il vettore

$V(x):=\nabla f (x)$

dato dal gradiente di $f$ in $x$ .

Proprietà:

Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo.
- Dimostrazione: se si calcola l' integrale di linea lungo una qualunque curva $\gamma: [0,1] \to \mathbb R^n$ che sia chiusa, cioè tale che $γ(0) = γ(1)$ si ottiene:

$\int_\gamma \nabla f \cdot ds= \int_0^1 \nabla f (\gamma(t)) \cdot \gamma ^\prime (t) dt=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=0$ . $\square$

Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare f sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di f, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana al variare di .
- Dimostrazione: i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da $\nabla f$ , consideriamo un generico vettore $v$ tangente ad una superficie di livello in un punto $x \in \mathbb R ^n$ . Sia $\varphi(t)$ una curva tale che $\varphi(0)=x$ , che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in $x$ è $\varphi^\prime(0)=v$ . Mostriamo che $v$ è $\nabla f(x)$ sono ortogonali: poiché $\varphi$ è su una superficie di livello si ha $f(\varphi(t))=c$ , cioè derivando $\nabla f(\varphi(0)) \cdot \varphi^\prime (0)=\nabla f(x) \cdot v=0$ . La tesi segue per l'arbitrarietà di $x$ e $v$ . $\square$

[modifica] Espressione del gradiente in altre coordinate

[modifica] Gradiente in coordinate polari

Coordinate polari

In $\R^2$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare:

$\begin{cases} x = \rho \cos \phi \\ y = \rho \, \mathrm{sen} \, \phi \end{cases}$

Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, mentre φ rappresenta la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione

$f = f(\rho \, ; \phi) \!\$

basterà eseguire la trasformazione:

$\nabla f(\rho \, ; \phi) = \left( \frac{\partial \rho}{\partial x} \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \mathbf{e}_x + \left( \frac{\partial \rho}{\partial y} \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \mathbf{e}_y$ .

Ricordando che:

$\begin{cases} \rho^2 = x^2 +y^2 \\ \phi = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) \end{cases}$

si ottengono le seguenti derivate:

$\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \cos \phi$

$\frac{\partial \rho}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \mathrm{sen} \, \phi$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = - \frac{y}{x^2 + y^2} = - \frac{\mathrm{sen} \, \phi}{\rho}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{\cos \phi}{\rho}$ .

Per i versori:

$\mathbf{e}_{x} = \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi}$

$\mathbf{e}_{y} = \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi}$

Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente:

$\nabla f(\rho \, ; \phi) = \left( \cos \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} - \frac{\mathrm{sen} \, \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \left( \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right) \, +$

$+ \, \left( \mathrm{sen} \, \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi}\right) \left( \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right)$ .

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

$\mathrm{grad} \ f(\rho,\phi) = \nabla f(\rho,\phi) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}$

[modifica] Gradiente in coordinate sferiche

Coordinate sferiche

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle sferiche:

$\begin{cases} x = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \theta \ \cos \phi \\ y = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \theta \ \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = \rho \ \cos \theta \end{cases}$

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

$\mathrm{grad} \ f(\rho,\theta,\phi) = \nabla f(\rho,\theta,\phi) =$

$= \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \theta} \, \mathbf{e}_{\theta} + \frac {1}{\rho \, \mathrm{sen} \, \theta} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}$

[modifica] Gradiente in coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle cilindriche:

$\begin{cases} x = \rho \ \cos \phi \\ y = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = z \end{cases}$

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate cilindriche diventa il vettore:

$\mathrm{grad} \, f(\rho,\phi,z) = \nabla f(\rho,\phi,z) =$

$= \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi} + \frac {\partial f}{\partial z} \, \mathbf{e}_{z}$