Gradiente

In matematica il gradiente di un campo scalare è una funzione a valori vettoriali di più variabili reali, quindi definita in una regione di uno spazio a due, tre o più dimensioni. Il gradiente di una funzione è definito come il vettore che ha per componenti cartesiane le derivate parziali della funzione. Il gradiente indicato correntemente come $\nabla f$ o, in modo più obsoleto e meno significativo, come $\mathrm{grad}~f$ rappresenta quindi la direzione di massimo incremento di una funzione di $n\;$ variabili $\,f_{(x_1,x_2,...,x_n)}\,$.

Il gradiente è quindi una grandezza vettoriale che indica come una grandezza fisica vari in funzione dei suoi diversi parametri. Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione.

Quindi il gradiente trasforma uno scalare in un vettore.

Definizione e rappresentazione cartesiana

Si consideri una funzione scalare derivabile f (si ricorda che una funzione scalare è una funzione che dà come risultato un numero, come ad esempio la temperatura all’interno di una stanza), definita in una regione dello spazio V racchiusa dalla superficie S. Il gradiente di f è un vettore, funzione di qualsiasi sistema di coordinate nello spazio.

Per una funzione di due variabili

$f: X \rightarrow \mathbb{R}$

• con X aperto di $\mathbb{R}^2$ il suo gradiente nel punto $(x_0,y_0)$ si esprime (la seguente non è la definizione di gradiente, ma la sua rappresentazione cartesiana ortogonale) come un vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto:

Una funzione da $\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ e il suo gradiente come campo vettoriale.

$\nabla f_{(x_0,y_0)} = \left( \begin{matrix} f'_{x~(x_0, y_0)} \\ f'_{y~(x_0, y_0)} \end{matrix} \right)$

$= {\partial f_{(x,y)}\over\partial x} ~ \hat{\mathbf{i}}\ + {\partial f_{(x,y)}\over\partial y} ~ \hat{\mathbf{j}}\$

Dove: $\hat{\mathbf{i}}$ e $\hat{\mathbf{j}}$ sono i versori (vettori di modulo unitario paralleli agli assi del sistema di riferimento).

• In $\mathbb{R}^3$ si definisce similmente:

$\nabla f_{(x_0,y_0,z_0)} = \left( \begin{matrix} f'_{x~(x_0,y_0,z_0)} \\ f'_{y~(x_0,y_0,z_0)} \\ f'_{z~(x_0,y_0,z_0)} \end{matrix} \right)$

$= {\partial f_{(x,y,z)}\over\partial x} ~ \hat{\mathbf{i}}\; ~+~ {\partial f_{(x,y,z)}\over\partial y} ~ \hat{\mathbf{j}}\; ~+~ {\partial f_{(x,y,z)}\over\partial z} ~ \hat{\mathbf{k}}\;$

• In $\mathbb{R}^n$ si definisce:

$\nabla f_{(x_{1},...,x_{n})} = {\partial f_{(x_{1},...,x_{n})} \over\partial x_1} ~ \hat{\mathbf{e}}_1~ + \cdots + {\partial f_{(x_{1},...,x_{n})} \over\partial x_n} ~ \hat{\mathbf{e}}_n~$

dove con $\hat{\mathbf{e}}_i$ si indica il versore della direzione $i$-esima con tutti gli elementi nulli tranne l'$i$-esimo che vale 1.

Campo vettoriale gradiente

Campo vettoriale del gradiente di due funzioni visualizzate mediante la densità della colorazione

Il gradiente di una funzione differenziabile scalare su $X \subset \mathbb R ^n$

$f: X \rightarrow \mathbb{R}$

individua un campo vettoriale - il campo gradiente di $f$ - associando ad ogni $x \in \mathbb R ^n$ il vettore

$V(x):=\nabla f (x)$

dato dal gradiente di $f$ in $x$.

Proprietà:

• Un campo gradiente è conservativo, cioè il rotore è ovunque nullo ed è semplicemente connesso.
  • Dimostrazione: se si calcola l'integrale di linea lungo una qualunque curva $\gamma: [0,1] \to \mathbb R^n$ che sia chiusa, cioè tale che $\gamma(0)=\gamma(1)$ si ottiene:

$\int_\gamma \nabla f \cdot \operatorname d\mathbf s= \int_0^1 \nabla f (\gamma(t)) \cdot \gamma ^\prime (t)\,\operatorname dt=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=0$. $\square$

• Le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare $f$ sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di $f$, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana $f(\mathbf x)=c$ al variare di $c \in \mathbb R$.
  • Dimostrazione: i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da $\nabla f$; consideriamo un generico vettore $v$ tangente ad una superficie di livello in un punto $x \in \mathbb R ^n$. Sia $\varphi(t)$ una curva tale che $\varphi(0)=x$, che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in $x$ è $\varphi^\prime(0)=v$. Mostriamo che $v$ è $\nabla f(x)$ sono ortogonali: poiché $\varphi$ è su una superficie di livello si ha $f(\varphi(t))=c$, cioè derivando $\nabla f(\varphi(0)) \cdot \varphi^\prime (0)=\nabla f(x) \cdot v=0$. La tesi segue per l'arbitrarietà di $x$ e $v$. $\square$

Espressione del gradiente in altre coordinate

Gradiente in coordinate polari

Coordinate polari

In $\R^2$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare:

$\begin{cases} x = x_0 + \rho \cos \phi \\ y = y_0 + \rho \, \mathrm{sen} \, \phi \end{cases}$

Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, mentre φ rappresenta la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione

$f = f(\rho \, ; \phi) \!\$

basterà eseguire la trasformazione:

$\nabla f(\rho \, ; \phi) = \left( \frac{\partial \rho}{\partial x} \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \mathbf{e}_x + \left( \frac{\partial \rho}{\partial y} \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \mathbf{e}_y$.

Ricordando che:

$\begin{cases} \rho^2 = x^2 +y^2 \\ \phi = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) \end{cases}$

si ottengono le seguenti derivate:

$\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \cos \phi$

$\frac{\partial \rho}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \mathrm{sen} \, \phi$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = - \frac{y}{x^2 + y^2} = - \frac{\mathrm{sen} \, \phi}{\rho}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{\cos \phi}{\rho}$.

Per i versori:

$\mathbf{e}_{x} = \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi}$

$\mathbf{e}_{y} = \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi}$

Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente:

$\nabla f(\rho \, ; \phi) = \left( \cos \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} - \frac{\mathrm{sen} \, \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \left( \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right) \, +$

$+ \, \left( \mathrm{sen} \, \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi}\right) \left( \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right)$.

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

$\nabla f(\rho,\phi) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}$

Gradiente in coordinate sferiche

Coordinate sferiche

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle sferiche:

$\begin{cases} x = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \theta \ \cos \phi \\ y = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \theta \ \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = \rho \ \cos \theta \end{cases}$

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

$\nabla f(\rho,\theta,\phi) = \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \theta} \, \mathbf{e}_{\theta} + \frac {1}{\rho \, \mathrm{sen} \, \theta} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}$

Gradiente in coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche

In $\R^3$ possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle cilindriche:

$\begin{cases} x = \rho \ \cos \phi \\ y = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = z \end{cases}$

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate cilindriche diventa il vettore:

$\nabla f(\rho,\phi,z) = \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi} + \frac {\partial f}{\partial z} \, \mathbf{e}_{z}$

Voci correlate

• Funzione differenziabile
• Calcolo vettoriale
• Derivata parziale
• Derivata direzionale, definibile anche tramite il gradiente della funzione
• Potenziale vettore, definito a meno del gradiente di una funzione
• Divergenza
• Gradiente ionico
• Jacobiano
• Nabla
• Rotore
• Subgradiente
• Teorema del gradiente
• Linea di minor resistenza

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