Gradiente

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Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione f, denotato con \nabla f (il simbolo \nabla si legge nabla), è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore \vec{v}, il prodotto scalare \vec{v}\cdot\nabla f dà il valore della derivata direzionale di f rispetto a \vec{v}.

In fisica, il gradiente di una grandezza scalare si usa per descrivere come quest'ultima vari in funzione dei suoi diversi parametri. Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Esempio di gradiente di una funzione f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}.

Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili f \equiv f (x_1,x_2,x_3), anche se la definizione può essere estesa a funzioni in uno spazio di dimensione arbitraria. Il gradiente di f è un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di f nella direzione di un generico vettore \mathbf v tramite il prodotto scalare tra \mathbf v ed il gradiente della funzione nel punto.

Campo vettoriale del gradiente di due funzioni visualizzate mediante la densità della colorazione: il nero via via più intenso rappresenta valori via via più alti assunti dalle funzioni i quali scaturiscono dall'andamento del gradiente raffigurato dalle frecce azzurre.

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano il gradiente di f(x,y,z) è il vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto:

 \nabla f  = \frac{\partial f}{\partial x }\hat{\mathbf{x}} + \frac{\partial f}{\partial y }\hat{\mathbf{y}} + \frac{\partial f}{\partial z }\hat{\mathbf{z}}

dove \hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}} e \hat{\mathbf{z}} sono i versori lungo gli assi.

Dal momento che l'operatore gradiente associa ad un punto dello spazio un vettore, il gradiente di una funzione differenziabile scalare  f: X \rightarrow \mathbb{R} su X \subset \mathbb R ^n è un campo vettoriale che associa ad ogni  x \in \mathbb R ^n il vettore \nabla f (x).

Un campo gradiente è conservativo, cioè non si ha dissipazione di energia (il lavoro compiuto lungo una linea chiusa è sempre nullo). Infatti, se si calcola l'integrale di linea lungo una qualunque curva \gamma: [0,1] \to \mathbb R^n che sia chiusa, cioè tale che \gamma(0)=\gamma(1) si ottiene:

\int_\gamma \nabla f \cdot \operatorname d\mathbf s= \int_0^1 \nabla f (\gamma(t)) \cdot \gamma ^\prime (t)\,\operatorname dt=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=0

Inoltre, le linee di flusso di un campo gradiente associato ad una funzione scalare f sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di f, cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana f(\mathbf x)=c al variare di c \in \mathbb R. Infatti, i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da \nabla f: si consideri allora un generico vettore v tangente ad una superficie di livello in un punto x \in \mathbb R ^n, e sia \varphi(t) una curva tale che \varphi(0)=x, che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in x è \varphi^\prime(0)=v. Dato che \varphi è su una superficie di livello allora f(\varphi(t))=c, cioè derivando si ha \nabla f(\varphi(0)) \cdot \varphi^\prime (0)=\nabla f(x) \cdot v=0. I vettori v e \nabla f(x) sono allora ortogonali e l'affermazione da verificare segue per l'arbitrarietà di x e v. La derivata direzionale di una funzione in un dato punto di f rappresenta poi il valore numerico dato dal limite del rapporto fra la variazione che essa subisce a partire dal punto per uno spostamento lungo la direzione e verso individuata dal versore rispetto a cui si deriva e lo spostamento medesimo al tendere a zero di quest'ultimo e risulta perciò positiva se f è crescente lungo tale verso a partire da punto considerato, negativa o nulla in caso contrario; d'altra parte la derivata direzionale del gradiente, proprio per il suo legame col prodotto scalare, è massima (e positiva) lungo il versore che lo individua (proprio come il prodotto scalare di un vettore per un versore è massimo e positivo quando il versore ha la direzione e verso del vettore). Il gradiente è dunque normale alle superfici di livello e diretto nel verso dei livelli crescenti; esso risulta irrotazionale anche se non sempre vale il viceversa a meno che l'insieme su cui il campo è definito sia semplicemente connesso.

Varietà riemanniane[modifica | modifica sorgente]

Per una funzione liscia f definita su una varietà riemanniana (M,g) il gradiente è il campo vettoriale \nabla f tale che per un qualsiasi campo vettoriale X si ha:

 g_x((\nabla f)_x, X_x ) = (\partial_X f) (x)

dove g_x(,) indica il prodotto interno (definito dalla metrica g) tra vettori tangenti la varietà nel punto x, mentre \partial_X f è la funzione che ad ogni punto x \in M associa la derivata direzionale di f nella direzione X valutata in x.

In modo equivalente, data una carta \varphi definita su un aperto in M a valori in \R^n, la funzione \partial_X f (x) è data da:

\sum_{j=1}^n X^{j} (\varphi(x)) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Big|_{\varphi(x)}

dove X^j è la j-esima componente di X nella carta considerata. Quindi la forma locale del gradiente è:

 \nabla f= g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^{k}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}

Generalizzando il caso M = \R^n, il gradiente di una funzione si relaziona con la sua derivata esterna nel seguente modo:

(\partial_X f) (x) = df_x(X_x)

Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica g è quella "piatta" data dal prodotto interno) della seguente definizione. Il gradiente \nabla f è il campo vettoriale associato alla 1-forma differenziale d f usando l'isomorfismo musicale:

\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM

definito dalla metrica g.

Approssimazione lineare di una funzione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Differenziale (matematica) e Approssimazione lineare.

Il gradiente di una funzione f: \R^n \to \R in ogni punto x_0 \in \R^n caratterizza la miglior approssimazione lineare di f nel punto:

 f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0)

per x vicino a x_0, con (\nabla f)_{x_0} il gradiente di f calcolato in x_0. Tale espressione è equivalente all'espansione in serie di Taylor di una funzione di più variabili in x_0.

La migliore approssimazione lineare a una funzione f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} in x_0 è una mappa lineare da \mathbb{R}^n in \mathbb{R} detta differenziale o derivata totale di f in x_0, e denotata con \mathrm d f_x(v). Il gradiente è legato al differenziale dalla relazione:

 (\nabla f)_x\cdot v = \mathrm d f_x(v) \qquad \forall v \in \R^n

La funzione \mathrm d f che mappa x in \mathrm d f_x è anche detta differenziale o derivata esterna, e si tratta di una 1-forma differenziale.

Espressione del gradiente in altre coordinate[modifica | modifica sorgente]

Gradiente in coordinate polari[modifica | modifica sorgente]

Coordinate polari

In \R^2 possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quello polare:

\begin{cases} x = x_0 + \rho \cos \phi \\ y = y_0 + \rho \, \mathrm{sen} \, \phi \end{cases}

Dove ρ rappresenta la coordinata radiale, mentre φ rappresenta la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione

 f = f(\rho \, ; \phi) \!\

basterà eseguire la trasformazione:

 \nabla f(\rho \, ; \phi) = \left( \frac{\partial \rho}{\partial x} \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \mathbf{e}_x + \left( \frac{\partial \rho}{\partial y} \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \mathbf{e}_y.

Ricordando che:

\begin{cases} \rho^2 = x^2 +y^2 \\ \phi = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) \end{cases}

si ottengono le seguenti derivate:

 \frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \cos \phi
 \frac{\partial \rho}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \mathrm{sen} \, \phi
 \frac{\partial \phi}{\partial x} = - \frac{y}{x^2 + y^2} = - \frac{\mathrm{sen} \, \phi}{\rho}
 \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{\cos \phi}{\rho}.

Per i versori:

\mathbf{e}_{x} = \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi}
\mathbf{e}_{y} = \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi}

Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente:

 \nabla f(\rho \, ; \phi) = \left( \cos \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} - \frac{\mathrm{sen} \, \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \left( \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right) \, +


 + \, \left( \mathrm{sen} \, \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi}\right) \left( \mathrm{sen} \, \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right) .

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

 \nabla f(\rho,\phi) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}

Gradiente in coordinate sferiche[modifica | modifica sorgente]

Coordinate sferiche

In \R^3 possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle sferiche:

\begin{cases} x = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \theta \ \cos \phi \\ y = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \theta  \ \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = \rho \ \cos \theta \end{cases}

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

 \nabla f(\rho,\theta,\phi) = \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \theta} \, \mathbf{e}_{\theta} + \frac {1}{\rho \, \mathrm{sen} \, \theta} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}

Gradiente in coordinate cilindriche[modifica | modifica sorgente]

Coordinate cilindriche

In \R^3 possiamo introdurre altri sistemi di riferimento come quelle cilindriche:

\begin{cases} x = \rho \ \cos \phi \\ y = \rho \ \, \mathrm{sen} \, \phi \\ z = z \end{cases}

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate cilindriche diventa il vettore:

 \nabla f(\rho,\phi,z) = \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi} + \frac {\partial f}{\partial z} \, \mathbf{e}_{z}

Gradiente in coordinate curvilinee[modifica | modifica sorgente]

In coordinate curvilinee generali, quando la metrica è data da ds^2 = g_j dx^2_j, il gradiente \nabla f di f in un punto è il vettore:

\nabla f = \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} \mathbf{e}_1 + \frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} \mathbf{e}_2 + \frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial x_3} \mathbf{e}_3

dove h_j = \sqrt {g_j^2} e con \mathbf{e}_i si indica il versore della direzione i-esima (con tutti gli elementi nulli tranne l'i-esimo che vale 1).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Kaplan, W. The Gradient Field. §3.3 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 183-185, 1991.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. The Gradient. In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 31-32, 1953.
  • (EN) Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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