Teorema di Heine-Cantor

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In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.

In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano (M,d) e (N,\rho) spazi metrici, e f: M \to N una funzione continua su M. Se M è compatto allora f è uniformemente continua.[1]

In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di

 \forall \varepsilon > 0, \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 : \forall x, y \in M,  d(x,y) < \delta \Rightarrow \rho(f(x),f(y)) < \varepsilon

equivale a

 \exists \bar{\varepsilon} > 0 : \forall \delta > 0, \exists x = x_{\delta}, y = y_{\delta} \in M :  d(x_{\delta},y_{\delta}) < \delta, \rho(f(x_{\delta}),f(y_{\delta})) \geq \bar{\varepsilon} .

Supponiamo dunque che esista \bar{\varepsilon} > 0 tale che per ogni \delta > 0 \quad esistano punti x_\delta,y_\delta tali che

d(x_\delta,y_\delta)<\delta e  \rho(f(x_\delta),f(y_\delta)) \geq \bar{\varepsilon}

Diamo a \delta i valori  1,{1 \over 2},{1 \over 3} \cdots ,{1 \over n},\cdots e denotiamo con x_n\quad e y_n\quad i corrispondenti punti x_\delta,y_\delta\quad .

In questo modo si definiscono due successioni di punti \{x_n\}_{n \in \N} e \{y_n\}_{n \in \N}.

Poiché M\quad è compatto da \{x_n\}_{n \in \N} si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto  z\in M; sia essa \{x_{n_j}\}.

Poiché d(x_{n_j},y_{n_j})<{1 \over n_j}\to 0 per j\to +\infty, si ha

d(y_{n_j},z) \leq d(x_{n_j},y_{n_j}) + d(x_{n_j},z)\to 0\quad per j\to +\infty. quindi anche \{y_{n_j}\} converge a z

Poiché per ogni j si ha

\rho(f(x_{n_j}),f(y_{n_j})) \leq \rho(f(x_{n_j}),f(z)) + \rho(f(y_{n_j}),f(z))

e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue

\lim_{j\to\infty} \rho(f(x_{n_j}),f(y_{n_j}))=0

incompatibile con l'ipotesi d'assurdo \rho(f(x_\delta),f(y_\delta)) \geq \bar{\varepsilon}

Condizione sufficiente[modifica | modifica wikitesto]

La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione f(x)=x è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.[1]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b P. M. Soardi, p. 187

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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