Equazione differenziale

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Grafico di alcuni integrali particolari di un'equazione differenziale.

Nell'analisi matematica, un'equazione differenziale è una relazione tra una funzione u(x) incognita ed alcune sue derivate.

Nel caso in cui u sia una funzione

$u:I\to \R$

definita in un intervallo $I\!$ di $\mathbb R$ si parla di equazione differenziale ordinaria (abbreviato con ODE, acronimo di ordinary differential equation). Un esempio di ODE è la relazione

$u''(x)=u(x)+u'(x)\!$

La scrittura più generale di un'equazione differenziale ordinaria (in una variabile) di ordine n può essere espressa nella forma:

$f(x, u(x), u'(x), ..., u^{(n)}(x)) = 0 \!$ .

Si chiama ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente; ad esempio:

$u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!$

è un'equazione differenziale ordinaria (la funzione incognita u è funzione solo di x) del secondo ordine.

Si chiama soluzione dell'equazione differenziale una funzione u (derivabile per un certo numero di volte) che soddisfi la relazione definita dall'equazione.

Generalmente, trovare una espressione analitica di una funzione che soddisfi un'equazione diffenziale, cioè darne una soluzione esplicita, è difficile, se non impossibile. Tuttavia, è quasi sempre possibile studiare il suo andamento qualitativo o servirsi di un computer per trovarne una approssimazione tramite metodi di calcolo numerici.

Nel corso dei secoli, sin da prima che Leibniz e Newton formalizzassero il calcolo infinitesimale, sono stati trovati alcuni casi in cui è possibile ricavare l'espressione analitica della soluzione. Alcuni permettono di trovare una soluzione esplicita, ossia $y=f(x)\;$ , altri implicita, cioè nella forma

$f(y)=g(x),\;\!$

che può essere portata in forma esplicita solo se f è invertibile, nel qual caso si ha

$y=f^{-1}\left( g(x) \right ).$

Indice

1 Motivazione
2 Problema di Cauchy
3 Polinomio associato
4 Equazioni differenziali alle derivate parziali
5 Approfondimenti
6 Voci correlate
7 Bibliografia
8 Collegamenti esterni

[modifica] Motivazione

Le equazioni differenziali sono uno dei più importanti strumenti che l'analisi matematica mette a disposizione nello studio di modelli matematici nei più disparati settori della scienza, dalla fisica alla biologia all'economia. Un esempio molto elementare di come le equazioni differenziali possano emergere naturalmente nello studio dei sistemi è il seguente: supponiamo di avere una popolazione di batteri composta inizialmente $\left( t=0 \right) \;$ da $P_0\;$ individui e chiamiamo $P(t)\;$ la popolazione al tempo t. È ragionevole aspettarsi che, in media, in ogni istante $t\;$ , dopo un tempo relativamente piccolo $dt\;$ nasca una quantità di nuovi individui proporzionale alla popolazione e al tempo trascorso $dt\;$ , cioè pari a $n P(t) dt\;$ dove $n\;$ è un numero (che si suppone costante) che individua il tasso di natalità; analogamente è ragionevole aspettarsi che muoiano $m P(t) dt\;$ individui nello stesso intervallo di tempo, essendo $m\;$ il tasso (costante) di mortalità. La popolazione al tempo $t+dt\;$ , quindi, sarà data dalla popolazione al tempo $t\;$ a cui aggiungiamo la popolazione appena nata e sottraiamo quella morta, ovvero

$P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt. \!$

Quindi abbiamo che

$\frac {P(t+dt)-P(t)} {dt}=(n-m)P(t).$

Possiamo riconoscere in questa espressione il rapporto incrementale della funzione $P(t)\;$ ; se $dt\;$ è molto piccolo, tale rapporto verrà sostituito con la derivata $P'(t) \!$ e si scriverà:

$P'(t)=(n-m)P(t). \!$

Questa è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Risolvere questa equazione significa determinare l'andamento nel tempo della popolazione, cioè la funzione $P(t)\;$ che la soddisfa.

In questo caso la soluzione è facile da trovare, si tratta della funzione:

$P(t)=P_0 e^{(n-m)t} \quad , \!$

una funzione esponenziale che cresce nel tempo (in modo "esplosivo") se $n>m\;$ , cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se $m>n\;$ . Il modello che abbiamo esaminato, però, è molto semplificato; in generale il tasso di crescita non sarà semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità: è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare, inoltre, situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel modello di Volterra - Lotka.

È dunque importante avere a disposizione tecniche matematiche per risolvere equazioni e sistemi di equazioni differenziali in maniera analitica, dandone quindi una soluzione esatta. Poiche non sempre ciò è possibile, sono necessari anche metodi per risolverle numericamente, cioè approssimando la soluzione a mano o tramite un calcolatore nei dintorni di uno o più punti. Inoltre, si rivela utile anche lo studio qualitativo della struttura geometrica delle soluzioni al variare dei dati iniziali o di parametri esterni, in quanto la soluzione di un'equazione differenziale è molto spesso un'intera classe di funzioni, che dipendono da dei parametri detti generalmente condizioni iniziali o al contorno.

[modifica] Problema di Cauchy

Il problema di Cauchy associato ad una o più equazioni differenziali consiste nel risolvere il sistema formato dalle soluzioni delle equazioni e dalle condizioni iniziali. In formule:

$\begin{cases}f(x,y,y',y'', \dots , y^n)=0 \quad \emph{in} \quad (a,b)\\ y(a)=y_0 \\ \dots \\ y^{n-1}(a)=y_{n-1} \end{cases}$

[modifica] Polinomio associato

Il polinomio associato a un'equazione differenziale lineare è l'equazione che si ottiene sostituendo al posto della funzione $y(x)\!$ un'incognita avente lo stesso coefficiente della funzione $y\!$ e grado rispettivamente uguale all'ordine di derivazione della $y\!$ .

Per esempio, data l'equazione differenziale $y''-5y'+6y=0\;$ , si costruisce un'equazione nell'incognita ausiliaria $\lambda\;$ secondo la regola indicata precedentemente e si ottiene $\lambda^2-5\lambda+6=0\;$ .

Aquesto punto si svolge come se fosse il classico $d e l t a$ dell'equazione di secondo grado. Trovato il risultato si va a sostituire alla formula $y = c 1 e x + c 2 e x$ ,dove $a l f a$ e $b e t a$ sono rispettivamente i risultati che abbiamo trovato risolvendo $l a m b d a$ . Ad esponente $x$ . delle $e$ . va messo il risultato trovato con $l a m b d a$ .

[modifica] Equazioni differenziali alle derivate parziali

Per approfondire, vedi la voce Equazione differenziale alle derivate parziali.

Un'equazione differenziale alle derivate parziali (abbreviato con PDE, dalle iniziali delle parole inglesi partial differential equation) è un'equazione che coinvolge derivate parziali di una funzione incognita.

Nel caso in cui u sia una funzione di k variabili reali indipendenti $(x_1,\ldots,x_k)\!$ , per cui $u=u(x_1,\ldots,x_k)\!$ , un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine n avrà la forma generale:

$f \left ( x_1, \ldots , x_k , u , \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_1^n}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_k^n} \right ) = 0 \quad ,$

se la funzione f dipende esplicitamente da almeno una delle derivate parziali di ordine n di z. L'idea è di descrivere la funzione indirettamente attraverso una relazione fra sé stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale: deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione dell'equazione è una funzione che soddisfa la relazione.

[modifica] Approfondimenti

Per approfondire lo studio delle equazioni differenziali, è possibile consultare le seguenti voci:

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

(EN) G. Boole A treatise on differential equations (McMillan, Cambridge, 1859)
(EN) W. W. Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
(EN) E. Goursat A course of mathematical analysis, part II of volume II (Ginn & co. 1917)
(EN) E. L. Ince Ordinary Differential Equations (Longman Greens, London, 1927)
(EN) A. R. Forsyth A Treatise On Differential Equations (MacMillan, London, 1929)
(EN) E. G. C. Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations (Clarendon Press, Oxford, 1936)
(FR) E. Picard Traité d'Analyse (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1896)
(FR) C. Jordan Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1913)

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) EqWorld
(EN) MathWorld
Modellizzazione con equazioni differenziali Introduzione alla modellizzazione mediante equazioni differenziali, con commenti critici.
Soluzione Sistemi di equazioni differenziali lineari Qui è spiegato, con semplicità, come risolvere alcuni tipi di sistemi di eq. differenziali.