Equazione differenziale

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Grafico di alcuni integrali particolari di un'equazione differenziale.

In analisi matematica un'equazione differenziale è una equazione che lega una funzione (dipendente da una o più variabili) con le sue derivate. Per esempio, le equazioni differenziali rappresentano la trattazione matematica rigorosa di una situazione in cui in ogni momento una certa quantità varia rispetto al tempo in maniera che dipende esclusivamente dal valore della quantità in quel momento (vedi un esempio di seguito).

Nel caso generale, la quantità (la funzione) può dipendere da più di una variabile, e l'equazione che lega la funzione con le sue derivate può essere di tipo generale. Siccome le situazioni sopra accennate si presentano frequentemente in moltissimi campi scientifici, le equazioni differenziali trovano applicazioni insostituibili in numerosi modelli matematici nei più disparati settori della scienza, dalla fisica all'ingegneria, dalla biologia all'economia.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui u sia una funzione definita in un intervallo I dell'insieme dei numeri reali, ovvero:

u:I\to \R

un'equazione differenziale ad essa associata si dirà "equazione differenziale ordinaria" (abbreviato con EDO, o in alcuni testi ODE, acronimo di ordinary differential equation). La scrittura generale di un'equazione differenziale ordinaria, in una variabile x, di ordine n può essere espressa nella forma:

f(x, u(x), u'(x), ..., u^{(n)}(x)) = 0 .

Si chiama ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente; ad esempio:

u''(x)=f(x,u(x),u'(x))

oppure

u''(x)=u(x)+u'(x)

sono equazioni differenziali ordinarie (la funzione incognita u è funzione solo di x) del secondo ordine.

Si chiama soluzione dell'equazione differenziale una funzione u (derivabile un certo numero di volte) che soddisfi la relazione definita dall'equazione.

Non sempre si riescono a trovare soluzioni esatte per le equazioni differenziali, ad eccezione di casi particolari. Invece che trovare un'espressione analitica di una funzione che soddisfi un'equazione differenziale, è talvolta possibile studiarne l'andamento qualitativo, oppure determinare soluzioni approssimate servendosi di computer in grado di effettuare approssimazioni tramite metodi di calcolo numerici.

Nel corso dei secoli, sin da prima che Leibniz e Newton formalizzassero il calcolo infinitesimale, sono stati trovati alcuni casi in cui è possibile ricavare l'espressione analitica della soluzione. Alcuni permettono di trovare una soluzione esplicita, ossia y=f(x), altri implicita, cioè nella forma:

f(y)=g(x),

che può essere portata in forma esplicita solo se f è invertibile, nel qual caso si ha:

y=f^{-1}\left( g(x) \right).

Motivazione[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio elementare di come le equazioni differenziali possano emergere naturalmente nello studio dei sistemi è il seguente: supponiamo di avere una popolazione di batteri composta inizialmente ( t=0 )  da P_0 individui e chiamiamo P(t) la popolazione al tempo t. È ragionevole aspettarsi che, in media, in ogni istante t, dopo un tempo relativamente piccolo dt nasca una quantità di nuovi individui proporzionale alla popolazione e al tempo trascorso dt, cioè pari a n P(t) dt dove n è un numero (che si suppone costante) che individua il tasso di natalità; analogamente è ragionevole aspettarsi che muoiano m  P(t) dt individui nello stesso intervallo di tempo, essendo m il tasso (costante) di mortalità. La popolazione al tempo t+dt, quindi, sarà data dalla popolazione al tempo t a cui aggiungiamo la popolazione appena nata e sottraiamo quella morta, ovvero

P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt.

Quindi abbiamo che

\frac {P(t+dt)-P(t)} {dt}=(n-m)P(t).

Possiamo riconoscere nell'espressione a primo membro il rapporto incrementale della funzione P(t); se dt è molto piccolo, tale rapporto verrà sostituito con la derivata  P'(t) e si scriverà:

P'(t)=(n-m)P(t).

Questa è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Risolvere questa equazione significa determinare l'andamento nel tempo della popolazione, cioè la funzione P(t) che la soddisfa. Stiamo cercando quindi una funzione P(t) che risponda alla relazione sopraindicata, quindi qualcosa che sia dimensionalmente sommabile alla sua derivata prima, se ci poniamo la domanda "quale famiglia di funzioni mantiene dimensionalmente confrontabili le proprie derivate successive?" La risposta risulterà immediata: "l'esponenziale". Andiamo quindi a cercare soluzione imponendo una relazione del tipo seguente:

P(t)=ae^{kt},

dove a e k sono costanti. imponendo di rispettare il vincolo

P'(t)-(n-m)P(t)=0.

Procedendo nello sviluppo delle relazioni precedenti troveremo:

P(t)=P_0 e^{(n-m)t},

una funzione esponenziale che cresce nel tempo (in modo "esplosivo") se n>m, cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se m>n. Il modello che abbiamo esaminato, però, è molto semplificato; in generale il tasso di crescita non sarà semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità: è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare, inoltre, situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel modello di Volterra-Lotka.

È dunque importante avere a disposizione tecniche matematiche per risolvere equazioni e sistemi di equazioni differenziali in maniera analitica, dandone quindi una soluzione esatta. Poiché non sempre ciò è possibile, sono necessari anche metodi per risolverle numericamente, cioè approssimando la soluzione a mano o tramite un calcolatore nell'intorno di uno o più punti. Inoltre, si rivela utile anche lo studio qualitativo della struttura geometrica delle soluzioni al variare dei dati iniziali o di parametri esterni, in quanto la soluzione di un'equazione differenziale è molto spesso un'intera classe di funzioni, che dipendono da parametri, detti generalmente condizioni iniziali o al contorno.

Problema di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Problema di Cauchy.

Il problema di Cauchy associato ad una o più equazioni differenziali consiste nel risolvere il sistema formato dalle soluzioni delle equazioni e dalle condizioni iniziali. In formule:

\begin{cases}f(x,y,y',y'', \dots , y^{(n)})=0 \quad \textrm{in} \quad (a,b)\\
y(a)=y_0 \\
y'(a)=y_1 \\
\dots \\
y^{(n-1)}(a)=y_{n-1} 
\end{cases}

Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy asserisce che esiste una sola funzione y(x) che soddisfa tutte queste ipotesi, se la funzione iniziale  f è sufficientemente regolare (ad esempio, se è differenziabile in un intorno di (y_0,\ldots,y_{n-1})). La funzione y(x) dipende dai dati iniziali y_0,\ldots, y_{n-1} per la funzione e le sue prime n-1 derivate: al variare di questi dati, chiamati condizioni al contorno, si ottiene quindi una classe di funzioni dipendenti da  n parametri.

Equazioni differenziali alle derivate parziali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione differenziale alle derivate parziali.

Un'equazione differenziale alle derivate parziali (abbreviato con PDE, dalle iniziali delle parole del nome inglese: partial differential equation) è un'equazione che coinvolge derivate parziali di una funzione incognita.

Nel caso in cui u sia una funzione di k variabili reali indipendenti (x_1,\ldots,x_k), per cui  u=u(x_1,\ldots,x_k), un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine n avrà la forma generale:

 f \left ( x_1, \ldots , x_k , u , \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_1^n}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_k^n}  \right ) = 0 ,

se la funzione f dipende esplicitamente da almeno una delle derivate parziali di ordine n di z. L'idea è di descrivere la funzione indirettamente attraverso una relazione fra sé stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale: deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione dell'equazione è una funzione che soddisfa la relazione.

Approfondimenti[modifica | modifica wikitesto]

Per approfondire lo studio delle equazioni differenziali, è possibile consultare le seguenti voci:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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