Equazione di Poisson

In matematica, l'equazione di Poisson è un'equazione alle derivate parziali di larghissimo utilizzo in elettrostatica, ingegneria meccanica e fisica teorica. Il suo nome deriva dal matematico, geometra, fisico francese Siméon-Denis Poisson.

Definizione

Sia $\varphi = \varphi(\mathbf x)$ una funzione definita sulla chiusura dell'insieme U di $\R^n$ a valori in $\R$.

L'equazione di Poisson per φ ha la forma:

$\Delta\varphi=f \$

dove Δ è l'operatore di Laplace o laplaciano e f è definita in U a valori in $\R$.

Nello spazio euclideo l'operatore di Laplace è spesso denotato con ${\nabla}^2$, e l'equazione di Poisson ha la forma:

${\nabla}^2 \varphi = f$

In coordinate cartesiane in tre dimensioni l'equazione prende la forma:

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

L'equazione di Poisson omogenea è detta equazione di Laplace:

$\Delta \varphi = 0 \$

Formula risolutiva

Per approfondire, vedi la voce equazione di Laplace.

Si consideri la soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace nella sua forma più generale:

$\Phi (\mathbf x)=\begin{cases} -\frac{1}{2\pi}\log |\mathbf x| \qquad (n=2) \\ \frac{1}{n(n - 2)\alpha (n)|\mathbf x|^{n - 2}} \qquad (n \ge 3) \end{cases}$

dove α(n) denota il volume della bolla di raggio unitario in Rⁿ. Per definizione, tale funzione è armonica per x non nullo. Se si pone di traslare l'origine nel punto y si ottiene che $\Phi (\mathbf {x - y})$ è ancora una funzione armonica per $\mathbf {x \ne y}$.

Si consideri la funzione $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ di classe C² a supporto compatto. L'associazione:

$\mathbf x \rightarrow \Phi (\mathbf {x - y})f(\mathbf y) \qquad \mathbf {x \ne y}$

è armonica per ogni y di Rⁿ.

Allora la convoluzione:

$u(\mathbf x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi (\mathbf {x - y})f(\mathbf y)d \mathbf y = \begin{cases} -\frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^2} \log (|\mathbf x - \mathbf y|)f(\mathbf y)d \mathbf y \qquad (n=2) \\ \frac{1}{n(n - 2)\alpha (n)} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(\mathbf y)}{|\mathbf x - \mathbf y|^{n - 2}} d \mathbf y \qquad (n \ge 3) \end{cases}$

è di classe C² ed è soluzione dell'equazione di Poisson.

Soluzioni

Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:

$\varphi(\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{\frac{f(\mathbf{x'})}{\mid \mathbf{x}-\mathbf{x'} \mid}dV}$

integrata su x'.
Si dimostra che la soluzione dell'equazione di Poisson è unica se vengono fissate opportune condizioni al contorno. In particolare, se in una regione limitata:

$V = \mathbb{R}^3 \mbox{ e } f \ne 0$

allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:

$\lim_{r \to \infty} \varphi (\mathbf{x}) \mid \mathbf{x}-\mathbf{y} \mid = costante < \infty$

dove y è un punto arbitrario tale che:

$f(\mathbf{y}) \ne 0$.

L'equazione di Poisson può essere risolta usando una funzione di Green, ed esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il metodo del rilassamento, un algoritmo iterativo, ne è un esempio.

Equazione di Poisson su un cerchio

L'equazione di Poisson può in teoria essere risolta analiticamente su qualsiasi dominio semplicemente connesso del piano complesso. Infatti il teorema di Weierstrass afferma che è possibile trasformare un dominio semplicemente connesso nel cerchio unitario tramite una trasformazione conforme biunivoca. Nel cerchio unitario l'equazione di Poisson ha soluzione in coordinate polari (ρ,ϕ):

$u(\rho,\phi) = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} \tilde u(\theta) K(\theta,\phi,\rho)$

con u(θ) la condizione al contorno sul cerchio unitario e

$K(\theta,\phi,\rho) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho^{|n|}\exp(-in(\theta-\phi))$

K può essere espresso in vari modi:

$K(\theta,\phi,\rho) = \Re\frac{1+z e^{-i\theta}}{1-z e^{-i\theta}}$

Elettrostatica

Alla base dell'elettrostatica vi è la formulazione e la risoluzione di problemi che sono descritti da un'equazione di Poisson. Trovare φ per una data f è un importante problema pratico, poiché questo è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico per una data distribuzione di cariche. Nelle unità SI:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

dove $\Phi \!$ è il potenziale elettrico, misurato in volt, $\rho \!$ è la densità di carica, misurata in coulomb su metri cubi, e $\epsilon_0 \!$ è la costante dielettrica del vuoto, in farad per metro.
Fissate le condizioni al contorno, la soluzione è unica, e pertanto il potenziale è completamente determinato dalla distribuzione spaziale di carica.
In una regione di spazio dove non c'è distribuzione di carica si ottiene l'equazione omogenea:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

e l'equazione per il potenziale diventa un'equazione di Laplace.

Potenziale di una densità di carica gaussiana

Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria sferica gaussiana ρ(r):

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

dove Q è la carica totale, allora la soluzione Φ (r) dell'equazione di Poisson è:

${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }$

data da:

$\Phi(r) = \frac{ 1} {4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

dove erf(x) la funzione errore. Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di ${\nabla}^2 \Phi$. Si noti che, per r maggiore di σ, erf(x) tende all'unità e il potenziale Φ (r) tende al potenziale di una carica puntiforme

$\Phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r}$

Bibliografia

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. ISBN 0821807722
• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
• F. A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction vol. 1 Longmans, London, 1899.
• F. A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction vol. 2 Longmans, London, 1913.
• O. D. Kellogg Foundations Of Potential Theory Frederick Ungar Publishing Company, 1929.
• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

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