Equazione di Poisson

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In matematica, l'equazione di Poisson è un'equazione alle derivate parziali con vaste utilità in elettrostatica, ingegneria meccanica e fisica teorica. Il suo nome deriva dal matematico, geometra, fisico francese Siméon-Denis Poisson.

L'equazione di Poisson è

\Delta\varphi=f

dove Δ è l'operatore di Laplace, e f e φ sono funzioni reali o complesse su una varietà. Quanto la varietà è lo spazio euclideo, l'operatore di Laplace è spesso denotato con {\nabla}^2 e l'equazione di Poisson è scritta frequentemente come

{\nabla}^2 \varphi = f

In coordinate cartesiane in tre dimensioni prende la forma

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

Per f nulla, questa equazione diventa l'equazione di Laplace

\Delta \varphi = 0. \!

Una soluzione dell'equazione di Poisson è data da:

\varphi(\mathbf{x}) = - \frac{1}{4\pi} \int_V{\frac{f(\mathbf{x'})}{\mid \mathbf{x}-\mathbf{x'} \mid}dV}

integrata su x'.

La soluzione precedente è unica se valgono opportune condizioni al contorno. In particolare, se:

V = \mathbb{R}^3 \mbox{ e } f \ne 0 \mbox{ in una regione limitata}

allora la soluzione precedente è l'unica che rispetta la condizione:

\lim_{r \to \infty} \varphi (\mathbf{x}) \mid \mathbf{x}-\mathbf{y} \mid = costante < \infty

dove y è un punto arbitrario tale che:

f(\mathbf{y}) \ne 0.

L'equazione di Poisson può essere risolta usando una funzione di Green. Esistono vari metodi per trovare soluzioni numeriche. Il metodo di rilassamento, un algoritmo iterativo, è un esempio.

Indice

[modifica] Elettrostatica

Una delle basi dell'elettrostatica è la formulazione e la risoluzione di problemi che sono descritti da un'equazione di Poisson. Trovare φ per una data f è un importante problema pratico, poiché questo è il modo usuale per trovare il potenziale elettrico per una data distribuzione di cariche. Nelle unità SI:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}

dove \Phi \! è il potenziale elettrico (in volt). \rho \! è la densità di carica (in coulomb su metri cubi), e \epsilon_0 \! è la costante dielettrica del vuoto (in farad per metro).

In una regione di spazio dove non ci sono densità di carica, si ha

\rho = 0, \,

e l'equazione per il potenziale diventa un'equazione di Laplace:

{\nabla}^2 \Phi = 0.

[modifica] Equazione di Poisson su un cerchio

L'equazione di Poisson può in teoria essere risolta analiticamente su qualsiasi dominio semplicemente connesso del piano complesso. Infatti il teorema di Weierstrass afferma che è possibile trasformare un dominio semplicemente connesso nel cerchio unitario tramite una trasformazione conforme biunivoca. Nel cerchio unitario l'equazione di Poisson ha soluzione in coordinate polari (ρ,φ):

u(\rho,\phi) = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} \tilde u(\theta) K(\theta,\phi,\rho)

con u(θ) la condizione al contorno sul cerchio unitario e

K(\theta,\phi,\rho) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho^{|n|}\exp(-in(\theta-\phi))

K può essere espresso in vari modi:

K(\theta,\phi,\rho) = \Re\frac{1+z e^{-i\theta}}{1-z e^{-i\theta}}

[modifica] Potenziale di una densità di carica gaussiana

Se esiste una densità di carica elettrica con simmetria sferica gaussiana ρ(r):

\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

dove Q è la carica totale, allora la soluzione Φ (r) dell'equazione di Poisson è:

{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }

data da:

\Phi(r) = \frac{ 1} {4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

dove erf(x) la funzione errore. Questa soluzione può essere verificata esplicitamente da un calcolo di {\nabla}^2 \Phi. Si noti che, per r maggiore di σ, erf(x) tende all'unità e il potenziale Φ (r) tende al potenziale di una carica puntiforme \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q}{r} come ci si aspetta.

[modifica] Bibliografia


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Poisson"
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