Convoluzione

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Convoluzione di due impulsi rettangolari f e g: la forma d'onda f\ast g che ne risulta è un impulso triangolare. Si tratta del prodotto di una delle due funzioni, in tal caso f, con l'altra riflessa rispetto a \tau=0 e traslata di t, ottenendo f(\tau)g(t-\tau). L'area del prodotto che ne risulta (in giallo) è il valore dell'integrale di convoluzione. Nell'asse orizzontale del grafico figurano i valori della variabile \tau per rappresentare f e g, della variabile t per f\ast g.
Convoluzione di un impulso rettangolare con la risposta impulsiva tipica di un circuito RC: il valore della convoluzione è la risposta del circuito quando l'ingresso è l'impulso rettangolare.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni che genera una terza funzione che viene vista come la versione modificata di una delle due funzioni iniziali. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si considerino due funzioni f(t) e g(t) definite da \R in sé, con f a supporto compatto e g integrabile secondo Lebesgue su ogni compatto di \R. Si definisce convoluzione di f e g la funzione definita nel seguente modo:[1]

(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau) d\tau

dove \int_{-\infty}^{\infty} denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni f e g assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando (t-\tau) = \tau': operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare \tau' con il nome di \tau.

Spesso alla variabile t si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione f(\tau) all'istante t, dove la funzione peso è g(-\tau) traslata di un intervallo t, ed al cambiare di t la funzione peso enfatizza parti diverse di f.

Più in generale si possono considerare f(t) e g(t) definite su \R^d a valori in \C, la cui convoluzione è data da:

(f * g )(x) = \int_{\R^d} f(y)g(x-y)\,dy = \int_{\R^d} f(x-y)g(y)\,dy

Se X e Y sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità f e g rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma X + Y è data dalla convoluzione di f con g.[2]

Convoluzione circolare[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione periodica x_T con periodo T, la sua convoluzione con un'altra funzione h è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

(x_T * h)(t) \, \stackrel{\mathrm{def}}= \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau = \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)d\tau

dove t_o è un parametro arbitrario e h_T è la sommazione periodica di h, data da:[3]

h_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t + kT)

Si tratta di una convoluzione periodica di x_T e h_T, e se x_T è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione x tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di h e x.

Convoluzione discreta[modifica | modifica sorgente]

Si considerino due funzioni f[n] e g[n] definite sull'insieme \Z degli interi. La convoluzione discreta di f con g è data da:

(f * g)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^\infty f[m]\, g[n - m] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[n-m]\, g[m]

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni (a_n)_{n \in \N} e (b_n)_{n \in \N} la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy \textstyle (c_n)_{n\geq0}, il cui n-esimo elemento è dato da:

c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di (a_n)_{n \in \N} e (b_n)_{n \in \N} considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali R[\N].

Convoluzione discreta circolare[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione g_N periodica con periodo N, per funzioni f tali che f * g_N esiste la convoluzione discreta è periodica:

(f * g_N)[n] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} \left(\sum_{k=-\infty}^\infty {f}[m+kN] \right) g_N[n-m]

e la somma su k è una sommazione periodica di f. Se g_N è la sommazione periodica di un'altra funzione g, la convoluzione f * g_N è la convoluzione circolare di f con g. Se inoltre f e g sono definite nell'intervallo [0,N-1] allora f * g_N assume la forma:

\begin{align}
(f * g_N)[n] &= \sum_{m\,=\,0}^{N-1} f[m]\ g_N[n-m]\\
             &= \sum_{m\,=\,0}^n f[m]\ g[n-m] + \sum_{m\,=\,n+1}^{N-1} f[m]\ g[N+n-m]\\
             &= \sum_{m\,=\,0}^{N-1} f[m]\ g[(n-m)_{\bmod{N}}] \equiv (f *_N g)[n]
\end{align}

Dominio di definizione[modifica | modifica sorgente]

La convoluzione di due funzioni f e g definite su \R^d a valori in \C:

(f*g)(x) = \int_{\R^d}f(y)g(x-y)\,dy

è ben definita solo se f e g decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se f e g sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se f e g sono Lebesgue-integrabili (in L^1(\R^n)) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se f \in L^1(\R^d) e g \in L^p(\R^d), con 1 \le p \le \infty, allora ( f * g ) \in L^p(\R^d) e si ha:

\|{f}*g\|_p\le \|f\|_1\|g\|_p

In particolare, se p = 1 tale relazione mostra che L^1 con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi L^p. Nello specifico, se 1 \le p,q,r \le \infty soddisfano la relazione:

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1

allora:

\|f*g\|_r\le \|f\|_p\|g\|_q \qquad f\in L^p \quad g\in L^q

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da L^p \times L^q a L^r.

Distribuzioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Distribuzione (matematica).

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se f è una funzione a supporto compatto e g è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

\int_{\R^d} {f}(y)g(x-y)\,dy

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

f*(g*\varphi) = (f*g)*\varphi\,

rimanga valida anche qualora f sia una distribuzione e g una distribuzione a supporto compatto.

Misure[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura (matematica).

La convoluzione di due misure di Borel \mu e \nu a variazione limitata è la misura \lambda definita come:

\int_{\R^d} f(x)d\lambda(x) = \int_{\R^d}\int_{\R^d}f(x+y)\,d\mu(x)\,d\nu(y)

Tale definizione coincide con la precedente se \mu e \nu sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in L^1 quando \mu e \nu sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

\|\mu*\nu\|\le \|\mu\|\|\nu\|

dove la norma è la variazione totale della misura.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

f * g = g * f
f  * (g  * h) = (f  * g)  * h
f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h)
  • Associatività per moltiplicazione per scalare
a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g)
per ogni numero reale (o complesso) a.
\mathcal{D}(f  * g) = \mathcal{D}f  * g = f  * \mathcal{D}g
dove con \mathcal{D}f si è denotata la derivata di f o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:
\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)

Teorema di convoluzione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che:

 \mathcal{F}(f  * g) =  \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)

dove F(f) indica la trasformata di Fourier di f. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Convoluzione su gruppi[modifica | modifica sorgente]

Se G è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar e se f e g sono valori reali o complessi dell'm-integrale di G, allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

(f * g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y)

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

  • In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
  • In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
  • Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
  • Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
  • In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
  • In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
  • In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac).
  • Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 170
  2. ^ J. Jacod; P. Protter, op. cit., Pag. 117
  3. ^ Infatti:
    \int_{-\infty}^\infty  h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau
    
\begin{align}
&= \sum_{k=-\infty}^\infty  \left[\int_{t_o+kT}^{t_o+(k+1)T} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau\right] \\
&\stackrel{\tau \to \tau+kT}{=}\  \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o}^{t_o+T} h(\tau+kT)\cdot x_T(t - \tau -kT)\ d\tau\right] \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\cdot \underbrace{x_T(t - \tau-kT)}_{X_T(t - \tau)}\right]\ d\tau\\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty  h(\tau+kT)\right]}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_T(\tau)}\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau 
\end{align}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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