Convoluzione

Spiegazione visiva della convoluzione. Rendere ogni forma d'onda una funzione della variabile di comodo τ. Invertire temporalmente una delle forme d'onda ed aggiungere t per consentire ad essa di scorrere avanti e indietro sull'asse τ, mantenendola stazionaria con lo stesso asse rispetto a t. Infine, originare la funzione a -∝ e tracciarla fino a +∝. Ad ogni intersezione delle due funzioni, calcolare l'integrale del loro prodotto. La forma d'onda risultante (qui non mostrata) è la convoluzione delle due funzioni. Se la forma d'onda stazionaria è un impulso unitario, il risultato finale sarebbe la versione originale della forma d'onda che scorre, essendo di nuovo stata invertita temporalmente, poiché l'estremità destra incontra prima l'impulso unitario, e poi l'estremità sinistra. Questa è inoltre il motivo dell'inversione temporale in generale, potendo considerare i segnali complessi come costituenti di impulsi unitari.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni che genera una terza funzione che viene vista come la versione modificata di una delle due funzioni di partenza. È paragonabile alla correlazione incrociata.

Viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata, soprattutto per operazioni di filtraggio nei sistemi lineari tempo invarianti (in questo caso l'OUT è dato dalla convoluzione tra il segnale IN e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace o la trasformata di Fourier è detta funzione di trasferimento).

Definizione Intuitiva

La convoluzione temporale di due funzioni è la somma, ripetuta quanto si voglia nel tempo, cioè in istanti diversi, dei prodotti: del valore della funzione qualsiasi nel momento qualsiasi, per il valore di una seconda funzione qualsiasi in un momento precedente o successivo al momento qualsiasi, per la misura dell'intervallo temporale che passa dal momento qualsiasi al momento precedente o successivo al momento qualsiasi.

Definizione

Si considerino due funzioni $f(t),g(t): \R \to \R$, dove f(t) è a supporto compatto e g(t) è integrabile secondo Lebesgue su ogni compatto di $\R$. Si definisce convoluzione di f e g la funzione definita nel seguente modo:

$(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau) d\tau$

dove $\int_{-\infty}^{\infty}\!$ denota l'integrale definito su tutto l'insieme dei numeri reali, risultano ora chiare le limitazioni poste alle funzioni f e g, in quanto se così non fosse non potremmo assicurare che l'integrale sia un numero reale.

È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale.

L'ultimo passaggio si può dimostrare con semplici calcoli: si consideri (t − τ) = τ', operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare τ' con il nome di τ.

Per funzioni discrete, si può usare la versione discreta della convoluzione:

$(f * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,$

Proprietà

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

• Commutatività

$f * g = g * f \,$

Dimostrazione

Partendo dalla definizione

$(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau$

si applica la sostituzione

$\tau = t-y \Rightarrow t-\tau = y \,$

da cui

$\frac{d\tau}{dy} = -1 \Rightarrow d\tau=-dy \,$

Ricordiamo che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di τ, pertanto esprimendoli in funzione di y diventano

Estremo inferiore:

$\tau = t-y \Rightarrow -\infty = t-y\Rightarrow \underbrace{-\infty-t}_{=-\infty}=-y \Rightarrow y=\infty \,$

Estremo superiore:

$\tau = t-y \Rightarrow \infty = t-y\Rightarrow \underbrace{\infty-t}_{=\infty}=-y \Rightarrow y=-\infty \,$

Ricordiamo che nel caso di integrali definiti o impropri, è possibile invertire gli estremi di integrazione pertanto:

$(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau =-\int_{\infty}^{-\infty} f(t-y)g(y) dy=\int_{-\infty}^{\infty} g(y)f(t-y) dy=(g * f)(t)$

• Associatività

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

• Distributività

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

• Associatività per moltiplicazione per scalare

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

per ogni numero reale (o complesso) a.

• Regola di differenziazione

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,$

dove con $\mathcal{D}f$ si è denotata la derivata di f o, nel caso discreto, l'operatore differenziale

$\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)$.

Teorema di convoluzione

Per approfondire, vedi la voce Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che

$\mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

dove F(f) indica la trasformata di Fourier di f. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace, trasformata di Laplace bilatera e la trasformata di Mellin.

La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Estensione

La convoluzione di f e g si scrive f * g ed è definita come l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle due sia stata simmetrizzata rispetto all'asse delle ordinate e sia stata traslata. In questo modo, la convoluzione è un metodo particolare di trasformata integrale:

$(f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$

L'intervallo di integrazione dipende dal dominio su cui sono definite le funzioni. Nel caso di integrazione su un intervallo finito, f e g sono spesso considerate periodiche in entrambe le direzioni, in modo tale che il termine g(t − τ) non implichi una violazione dell'intervallo. L'uso dei domini periodici è spesso chiamato convoluzione circolare; naturalmente, è sempre possibile l'estensione con aggiunta di zeri: utilizzando l'estensione con gli zeri o domini infiniti, la convoluzione è detta lineare, specialmente nel caso discreto sotto descritto.

Se X e Y sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità f e g rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma X + Y è data dalla covoluzione f * g.

Per le funzioni discrete, si può utilizzare la versione discreta della convoluzione, data da

$(f * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,$

Moltiplicando due polinomi, i coefficienti del prodotto sono dati dalla convoluzione della sequenza originale dei coefficienti in questo senso (utilizzando l'estensione con zeri come ricordato sopra).

Generalizzando i casi sopra citati, la convoluzione può essere definita per ogni coppia di funzioni integrabili definite su un intervallo localmente compatto.

Una generalizzazione diversa avviene per la convoluzione delle distribuzioni.

Convoluzione su gruppi

Se G è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, uno gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar e se f e g sono valori reali o complessi dell' m-integrale di G, allora la loro convoluzione può essere definita da:

$(f * g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,$

Applicazioni

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

• In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione.
  • Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
• In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
• Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
• Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
• In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
• Nella riverberazione artificiale (elaborazione digitale dei segnali (DSP), audio professionale), la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
• In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema lineare (stazionario, o tempo- o spazio-invariante) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac). Vedi teoria dei sistemi lineari tempo-invarianti e elaborazione digitale dei segnali.
• Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.
• In fisica, ogni volta che è presente un sistema lineare con un "principio di sovrapposizione", è utilizzata l'operazione di convoluzione.
• Questo è il termine fondamentale del problema nelle equazioni di Navier-Stokes correlate al problema matematico del millennio di Clay e al premio associato di un milione di dollari.

Voci correlate

• Deconvoluzione
• Convoluzione di Dirichlet
• Mollificatore

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Convoluzione

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• (EN) Jean Jacod; Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000. ISBN 3540438718

Collegamenti esterni

• Convolution, su The Data Analysis BriefBook
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java sulla convoluzione.
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java per la convoluzione di funzioni tempo discrete.
• http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/corsoCEA/convoluzione.xls Un foglio elettronico per visualizzare in modo interattivo il prodotto di convoluzione fra due segnali, nell’esempio un impulso ed un’esponenziale monolatera. Tramite un cursore il tempo può essere fatto variare da -∞ a +∞; in corrispondenza di ogni valore viene evidenziata la funzione integrando ed il risultato del prodotto di convoluzione (tramite un marker)

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