Convoluzione

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Convoluzione di due impulsi rettangolari f e g: la forma d'onda f\ast g che ne risulta è un impulso triangolare. Si tratta del prodotto di una delle due funzioni, in tal caso f, con l'altra riflessa rispetto a \tau=0 e traslata di t, ottenendo f(\tau)g(t-\tau). L'area del prodotto che ne risulta (in giallo) è il valore dell'integrale di convoluzione. Nell'asse orizzontale del grafico figurano i valori della variabile \tau per rappresentare f e g, della variabile t per f\ast g.
Convoluzione di un impulso rettangolare con la risposta impulsiva tipica di un circuito RC: il valore della convoluzione è la risposta del circuito quando l'ingresso è l'impulso rettangolare.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino due funzioni f(t) e g(t) definite da \R in sé, con f a supporto compatto e g integrabile secondo Lebesgue su ogni compatto di \R. Si definisce convoluzione di f e g la funzione definita nel seguente modo:[1]

(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau) d\tau

dove \int_{-\infty}^{\infty} denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni f e g assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando (t-\tau) = \tau': operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare \tau' con il nome di \tau.

Spesso alla variabile t si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione f(\tau) all'istante t, dove la funzione peso è g(-\tau) traslata di un intervallo t, ed al cambiare di t la funzione peso enfatizza parti diverse di f.

Più in generale si possono considerare f(t) e g(t) definite su \R^d a valori in \C, la cui convoluzione è data da:

(f * g )(x) = \int_{\R^d} f(y)g(x-y)\,dy = \int_{\R^d} f(x-y)g(y)\,dy

Se X e Y sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità f e g rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma X + Y è data dalla convoluzione di f con g.[2]

Convoluzione circolare[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione periodica x_T con periodo T, la sua convoluzione con un'altra funzione h è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

(x_T * h)(t) \, \stackrel{\mathrm{def}}= \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau = \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)d\tau

dove t_o è un parametro arbitrario e h_T è la sommazione periodica di h, data da:[3]

h_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^\infty  h(t + kT)

Si tratta di una convoluzione periodica di x_T e h_T, e se x_T è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione x tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di h e x.

Convoluzione discreta[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino due funzioni f[n] e g[n] definite sull'insieme \Z degli interi. La convoluzione discreta di f con g è data da:

(f * g)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^\infty f[m]\, g[n - m] = \sum_{m=-\infty}^\infty f[n-m]\, g[m]

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni (a_n)_{n \in \N} e (b_n)_{n \in \N} la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy \textstyle (c_n)_{n\geq0}, il cui n-esimo elemento è dato da:

c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di (a_n)_{n \in \N} e (b_n)_{n \in \N} considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali R[\N].

Convoluzione discreta circolare[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione g_N periodica con periodo N, per funzioni f tali che f * g_N esiste la convoluzione discreta è periodica:

(f * g_N)[n] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} \left(\sum_{k=-\infty}^\infty {f}[m+kN] \right) g_N[n-m]

e la somma su k è una sommazione periodica di f. Se g_N è la sommazione periodica di un'altra funzione g, la convoluzione f * g_N è la convoluzione circolare di f con g. Se inoltre f e g sono definite nell'intervallo [0,N-1] allora f * g_N assume la forma:

\begin{align}
(f * g_N)[n] &= \sum_{m\,=\,0}^{N-1} f[m]\ g_N[n-m]\\
             &= \sum_{m\,=\,0}^n f[m]\ g[n-m] + \sum_{m\,=\,n+1}^{N-1} f[m]\ g[N+n-m]\\
             &= \sum_{m\,=\,0}^{N-1} f[m]\ g[(n-m)_{\bmod{N}}] \equiv (f *_N g)[n]
\end{align}

Dominio di definizione[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione di due funzioni f e g definite su \R^d a valori in \C:

(f*g)(x) = \int_{\R^d}f(y)g(x-y)\,dy

è ben definita solo se f e g decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se f e g sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se f e g sono Lebesgue-integrabili (in L^1(\R^n)) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se f \in L^1(\R^d) e g \in L^p(\R^d), con 1 \le p \le \infty, allora ( f * g ) \in L^p(\R^d) e si ha:

\|{f}*g\|_p\le \|f\|_1\|g\|_p

In particolare, se p = 1 tale relazione mostra che L^1 con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi L^p. Nello specifico, se 1 \le p,q,r \le \infty soddisfano la relazione:

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1

allora:

\|f*g\|_r\le \|f\|_p\|g\|_q \qquad f\in L^p \quad g\in L^q

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da L^p \times L^q a L^r.

Distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Distribuzione (matematica).

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se f è una funzione a supporto compatto e g è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

\int_{\R^d} {f}(y)g(x-y)\,dy

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

f*(g*\varphi) = (f*g)*\varphi\,

rimanga valida anche qualora f sia una distribuzione e g una distribuzione a supporto compatto.

Misure[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura (matematica).

La convoluzione di due misure di Borel \mu e \nu a variazione limitata è la misura \lambda definita come:

\int_{\R^d} f(x)d\lambda(x) = \int_{\R^d}\int_{\R^d}f(x+y)\,d\mu(x)\,d\nu(y)

Tale definizione coincide con la precedente se \mu e \nu sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in L^1 quando \mu e \nu sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

\|\mu*\nu\|\le \|\mu\|\|\nu\|

dove la norma è la variazione totale della misura.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

f * g = g * f
Dimostrazione

Partendo dalla definizione:

 (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau

si applica la sostituzione:

\tau = t-y \to t-\tau = y

da cui:

\frac{d\tau}{dy} = -1 \to d\tau=-dy

Ricordando che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di \tau, esprimendoli in funzione di y l'estremo inferiore diventa:

 \tau = t-y \to -\infty = t-y \to \underbrace{-\infty-t}_{=-\infty}=-y \to y=\infty

mentre l'stremo superiore:

 \tau = t-y \to \infty = t-y \to \underbrace{\infty-t}_{=\infty}=-y \to y=-\infty

Dato che nel caso di integrali definiti o impropri è possibile invertire gli estremi di integrazione:

 (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau =-\int_{\infty}^{-\infty} f(t-y)g(y) dy=\int_{-\infty}^{\infty} g(y)f(t-y) dy=(g * f)(t)
f  * (g  * h) = (f  * g)  * h
f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h)
  • Associatività per moltiplicazione per scalare
a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g)
per ogni numero reale (o complesso) a.
\mathcal{D}(f  * g) = \mathcal{D}f  * g = f  * \mathcal{D}g
dove con \mathcal{D}f si è denotata la derivata di f o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:
\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)

Teorema di convoluzione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che:

 \mathcal{F}(f  * g) =  \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)

dove F(f) indica la trasformata di Fourier di f. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Convoluzione su gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Se G è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar e se f e g sono valori reali o complessi dell'm-integrale di G, allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

(f * g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y)

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

  • In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
  • In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
  • Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
  • Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
  • In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
  • In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
  • In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac).
  • Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 170
  2. ^ J. Jacod; P. Protter, Pag. 117
  3. ^ Infatti:
    \int_{-\infty}^\infty  h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau
    
\begin{align}
&= \sum_{k=-\infty}^\infty  \left[\int_{t_o+kT}^{t_o+(k+1)T} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau\right] \\
&\stackrel{\tau \to \tau+kT}{=}\  \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o}^{t_o+T} h(\tau+kT)\cdot x_T(t - \tau -kT)\ d\tau\right] \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\cdot \underbrace{x_T(t - \tau-kT)}_{X_T(t - \tau)}\right]\ d\tau\\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty  h(\tau+kT)\right]}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_T(\tau)}\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau 
\end{align}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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