Mollificatore

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Un mollificatore a supporto contenuto nell'intervallo [-1,1]

In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.

Le successioni di mollificatori (dette successioni regolarizzanti) sono molto usate per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un mollificatore è una funzione \rho: \R^n \to \R che soddisfa le seguenti proprietà:

  • \rho \in C^\infty (\R^n)
  • \mbox{supp}(\rho) \subset B\left(0,\frac{1}{n}\right)
  • \rho \geq 0
  • \int_{\R^n} \rho = 1

dove con \mbox{supp}(\rho) si intende il supporto di \rho, cioè la chiusura dell'insieme di punti dove \rho non si annulla, e B\left(0,\frac{1}{n}\right) è la palla centrata nell'origine di raggio 1/n.[1]

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

\rho_1(x)=\begin{cases} e ^{1 \over |x|^2-1} & \mbox{ se } |x| < 1 \\ 0 & \mbox{ se } |x| \geq 1\end{cases}
\rho_n(x)=c_n \rho_1 (nx)

dove c_n è una costante che normalizza l'integrale a 1.

Proprietà e utilizzi[modifica | modifica sorgente]

In alto: un mollificatore. In basso, una funzione irregolare in rosso e la sua regolarizzata in blu

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. u:\R^n \to \R è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione

\rho * u (x) =\int_{\R^n} \rho (y) u(x-y) dy

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di u per punti vicini a x, in quanto per definizione di \rho l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in x di raggio 1/n e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a x.

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

  • Se u \in L^p(\R^n), p < \infty allora \rho_n * u converge a u in norma L^p.

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in L^p che nello spazio di Sobolev W^{1,p} per p < \infty.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ H. Brezis, op. cit., p. 111

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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