Funzione di trasferimento

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Rappresentazione del comportamento di un sistema dinamico nel dominio del tempo.

In teoria dei sistemi la funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare stazionario è la trasformata di Laplace della risposta all'impulso, ed è perciò la funzione di rete che esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio di Laplace.

Affinché la trattazione teorica sia valida è necessario che il sistema sia un sistema dinamico lineare stazionario: in altre parole, tutti gli elementi facenti parte del sistema devono avere un'equazione caratteristica lineare. Nell'ambito dei sistemi elettrici i valori dei parametri che costituiscono il sistema (come le capacità dei condensatori eventualmente presenti in un circuito) devono essere quindi costanti nel tempo, e la funzione di trasferimento si ottiene eguagliando a zero le equazioni delle variabili di stato che descrivono il sistema.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

La funzione di trasferimento di un sistema dinamico lineare è una funzione di variabile complessa che descrive completamente il comportamento del sistema, mettendone in relazione l'ingresso e l'uscita. Si consideri una funzione u : \R \to \R^n che rappresenta l'ingresso ed una funzione y : \R \to \R^m che rappresenta l'uscita del sistema. Dette U e Y le trasformate di Laplace di u e y, la funzione di trasferimento è la funzione H data dal rapporto:[1]

H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} \qquad s \in \C

Un generico sistema dinamico canonico è descritto dall'equazione:

\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t) \qquad x : \R \to \R^p
y(t)=Cx(t)+Du(t)

con A, B, C e D matrici. Nel dominio della trasformata di Laplace, in cui la variabile è la frequenza s, l'uscita è data da:

y(s)=(D + C(sI -A)^{-1} B)u(s)

La funzione di trasferimento è quindi rappresentata dalla matrice (D + C(sI -A)^{-1} B), e nel caso vi siano un solo ingresso ed una sola entrata, ovvero u e  y sono definite da \R in sé, si ha la particolare forma:

H(s) = \frac{\prod_{i=0}^{Z} (s - z_i)}{\prod_{i=0}^{P}(s - p_i)}

Si tratta di una funzione razionale di variabile complessa, in cui i numeri z_i (che annullano il numeratore) sono gli zeri e p_i (che annullano il denominatore) i poli. Ad ogni polo risulta associato nel dominio reale del tempo un modo di risposta, ed i modi di risposta vengono detti asintoticamente stabili se i poli corrispondenti hanno parte reale negativa, marginalmente stabili (al limite di stabilità) se tra i poli corrispondenti ce ne sono alcuni semplici (di molteplicità algebrica pari ad uno) con parte reale nulla, e instabili se i poli hanno parte reale nulla e molteplicità algebrica maggiore di uno e/o parte reale positiva.

Un modo per caratterizzare un sistema dinamico lineare è porre in ingresso una funzione (più precisamente una distribuzione) a delta di Dirac e considerare l'uscita h del sistema, la risposta all'impulso. La trasformata di Laplace della risposta alla delta di Dirac è la funzione di trasferimento H. Poiché nel dominio della trasformata un prodotto di due funzioni corrisponde alla loro convoluzione nel dominio temporale, segue che la risposta del sistema ad un ingresso generico è la convoluzione dell'ingresso con la risposta del sistema alla delta di Dirac.

Nel formalismo delle equazioni differenziali, un altro modo per descrivere l'uscita u del sistema, dato un ingresso r, è considerare l'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti:

 L[u] = \frac{d^nu}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}} + \dotsb + a_{n-1}\frac{du}{dt} + a_nu = r(t)

con u(t) ed r(t) funzioni lisce. Una tale equazione descrive come l'uscita sia vincolata da r(t), e la funzione di trasferimento F[r] = u è l'inversa di L, essendo che L[F[r]] = r. Per ottenere le soluzioni dell'equazione omogenea L[u] = 0 si pone u = e^{\lambda t}. Sostituendo, si ottiene il polinomio caratteristico:

 p_L(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dotsb + a_{n-1}\lambda + a_n\,

L'equazione non omogenea può essere risolta agevolmente quando l'ingresso è della forma r(t) = e^{s t}. Infatti, sostituendo u = H(s)e^{s t} si ha che L[H(s) e^{s t}] = e^{s t} se e solo se:

H(s) = \frac{1}{p_L(s)} \qquad p_L(s) \neq 0

Analisi in frequenza[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Risposta in frequenza.
Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (la trasformata di Laplace è mostrata in rosso).

Sia  x(t) l'input di un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) con uscita  y(t) , e si considerino le trasformate di Laplace:

 X(s)  =  \mathcal{L}\left \{ x(t) \right \} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st}\, dt \qquad Y(s)  =   \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt

sicché la funzione di trasferimento  H(s) soddisfa per definizione:

 Y(s) = H(s) X(s) \qquad H(s) = \frac{Y(s)} {X(s)}

In particolare, nel caso in ingresso al sistema LTI vi sia un segnale con componente sinusoidale di ampiezza |X| , frequenza angolare \omega e fase \arg(X) :

 x(t) = Xe^{j\omega t} = |X|e^{j(\omega t + \arg(X))} \qquad X = |X|e^{j\arg(X)}

allora l'uscita corrispondente è:

 y(t) = Ye^{j\omega t} = |Y|e^{j(\omega t + \arg(Y))} \qquad Y = |Y|e^{j\arg(Y)}

In un sistema LTI, infatti, la frequenza  \omega del segnale in ingresso non viene modificata, essendo possibile soltanto l'alterazione di ampiezza e fase. La risposta in frequenza  H(j \omega) descrive una tale modifica per ogni frequenza  \omega possibile, ed il suo modulo definisce il guadagno:

G(\omega) = \frac{|Y|}{|X|} = |H(j \omega)| \

Il cambiamento di fase tra ingresso e uscita è dato da:

\phi(\omega) =  \arg(Y) -  \arg(X) = \arg( H(j \omega))

mentre i ritardi \tau_{\phi} e \tau_{g} introdotti dalla funzione di trasferimento rispettivamente sulla fase e sull'inviluppo della sinusoide, espressi in funzione della frequenza, sono:

\tau_{\phi}(\omega) = -\begin{matrix}\frac{\phi(\omega)}{\omega}\end{matrix} \qquad \tau_{g}(\omega) = -\begin{matrix}\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}\end{matrix}

Sistemi a tempo continuo[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema dinamico lineare stazionario.

L'uscita y(t) di un sistema dinamico lineare tempo-invariante a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso x(t) è descritta dalla convoluzione:

y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\operatorname{d}\tau

dove h(t) è la risposta del sistema quando l'ingresso x(t) è una funzione a delta di Dirac. L'uscita y è quindi proporzionale alla media dell'ingresso x pesata dalla funzione  h(-\tau), traslata di un tempo t.

Se la funzione h(\tau) è nulla quando \tau < 0 allora y(t) dipende soltanto dai valori assunti da x precedentemente al tempo t, ed il sistema è detto causale.

Le autofunzioni di un sistema LTI a tempo continuo sono le funzioni esponenziali A e^{s t}, con A e s in \mathbb{C}. Infatti, sia x(t) = A e^{s t} l'ingresso e h(t) la risposta del sistema alla delta di Dirac. L'uscita è data da:

y(t) =\int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) A e^{s \tau}\, \operatorname{d} \tau = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, A e^{s t} e^{-s \tau} \, \operatorname{d} \tau = A e^{s t} \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, \operatorname{d} \tau = A e^{s t} H(s)

La trasformata di Laplace:

H(s)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \mathcal{L}\{h(t)\}\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} \, \operatorname{d} t

è la funzione di trasferimento del sistema, che permette così di ottenere gli autovalori a partire dalla risposta all'impulso di Dirac. Per ogni A e s in \mathbb{C} l'uscita è dunque il prodotto dell'ingresso A e^{st} per una costante dipendente solo dal parametro s, autovalore del sistema LTI relativo all'autovettore A e^{st} (elemento di uno spazio vettoriale funzionale). Di particolare interesse è il caso in cui l'ingresso è un esponenziale complesso \exp({j \omega t}), con \omega \in \mathbb{R} e j\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sqrt{-1}. La funzione di trasferimento è data in tal caso dalla trasformata di Fourier:

H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}

Mentre la trasformata di Laplace è utilizzata per segnali che sono nulli prima di un certo tempo t_0, solitamente lo zero, la trasformata di Fourier consente di trattare funzioni di durata infinita, con la richiesta (a differenza della trasformata di Laplace in sistemi stabili) di essere quadrato sommabili.

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata l'integrale si riduce ad una moltiplicazione:

y(t) = (h*x)(t)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) \, \operatorname{d} \tau\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Tale fatto consente di trasformare le equazioni differenziali ed integrali che solitamente governano i sistemi dinamici LTI in equazioni algebriche.

Sistemi a tempo discreto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema dinamico lineare stazionario discreto.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso \{x\} in un'altra successione \{y\}, data dalla convoluzione discreta con la risposta h alla delta di Kronecker:

y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\cdot h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]\cdot h[k]

Gli elementi di \{y\} possono dipendere da ogni elemento di \{x\}. Solitamente y[n] dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo n.

Gli esponenziali del tipo z^n = e^{sT n}, con n \in \mathbb{Z}, sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante discreto. Infatti, detto T \in \mathbb{R} il periodo di campionamento e z = e^{sT}, con z,s \in \mathbb{C}, si supponga x[n] = \,\!z^n l'ingresso del sistema. Se h[n] è la risposta impulsiva, si ha:

y[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, z^m = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \, z^{(n - m)} = z^n \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] \, z^{-m} = z^n H(z)

La funzione:

H(z)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^\infty h[m] z^{-m}

dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) z^n del sistema LTI. La trasformata zeta:

H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\} = \sum_{n=-\infty}^\infty h[n] z^{-n}

è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure e^{j \omega n}, con \omega \in \mathbb{R}, che possono essere scritte come z^n, dove z = e^{j \omega}. Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:

H(e^{j \omega}) = \mathcal{F}\{h[n]\}

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m] = \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)X(z)\}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ PlanetMath - Transfer function

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Karsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. Prentice Hall, 2002.
  • Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni. Fondamenti di controlli automatici. McGraw-Hill Companies, giugno 2008. ISBN 978-88-386-6434-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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