Funzione di trasferimento

Rappresentazione del comportamento di un sistema dinamico nel dominio del tempo.

Una funzione di trasferimento è una funzione di rete che rappresenta matematicamente la relazione tra l'ingresso di un sistema dinamico lineare tempo invariante e la risposta del sistema stesso.

Considerazioni preliminari

È necessario che il sistema sia lineare tempo invariante o lineare invariante alla traslazione affinché la trattazione teorica sia valida: in altre parole, tutti gli elementi facenti parte del sistema devono avere un'equazione caratteristica lineare. Nell'ambito dei sistemi elettrici, ad esempio, un diodo non è accettabile ed i valori dei parametri che costituiscono il sistema (come le capacità dei condensatori eventualmente presenti in un circuito) devono essere costanti nel tempo. La funzione di trasferimento si ottiene quindi eguagliando a zero le equazioni delle n variabili di stato che descrivono il sistema.

Descrizione

Nella teoria dei segnali e nella teoria dei sistemi la funzione di trasferimento è una funzione della variabile s nel dominio complesso delle funzioni di base cisoidali della trasformata di Laplace, o è una funzione della variabile f nel dominio complesso delle funzioni di base sinusoidali, ovvero delle frequenze, della trasformata di Fourier. Data la trasformata di Laplace di un segnale, si può ottenere la sua trasformata di Fourier sostituendo s = 2πif, essendo i l'unità immaginaria. La funzione di trasferimento rappresenta completamente un sistema LTI. Sia u(t) l'ingresso del sistema LTI, y(t) la sua uscita e U(s) e Y(s) le relative trasformate di Laplace; allora, la funzione di trasferimento H(s) è data dal rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso:

$H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$.

La funzione di trasferimento può anche essere vista come la trasformata di Laplace della risposta all'impulso dello stesso sistema, ovvero del segnale y_δ(t) prodotto applicando un impulso a delta di Dirac in ingresso al sistema (si noti che la trasformata di Laplace U_δ(s) di un delta di Dirac vale 1, per cui si ha che H(s)=Y(s)). Moltiplicare due trasformate equivale ad effettuare una convoluzione nel dominio reale del tempo tra le relative antitrasformate, quindi antitrasformando il prodotto si ottiene il risultato della convoluzione delle funzioni originarie.

Relazione tra poli e stabilità del sistema

Sono detti poli i valori di s che annullano il denominatore della funzione di trasferimento; parallelamente vengono definiti zeri i valori di s che ne annullano il numeratore. Ad ogni polo risulta associato nel dominio reale del tempo un modo di risposta. I modi di risposta vengono detti asintoticamente stabili se i poli corrispondenti hanno parte reale negativa, marginalmente stabili (o al limite di stabilità) se tra i poli corrispondenti ce ne sono alcuni semplici (di molteplicità algebrica pari ad uno) con parte reale nulla e instabili se i poli corrispondenti hanno parte reale nulla e molteplicità algebrica maggiore di uno e/o parte reale positiva. La risposta all'impulso del sistema nel dominio del tempo corrisponde ad una combinazione lineare di tutti i modi di risposta.

Cancellazione zero-polo

Talvolta, nell'esecuzione dei calcoli, può accadere che la frazione si riduca: in altre parole, in presenza di un polo e di uno zero coincidenti, la funzione di trasferimento si semplifica in una forma, cosiddetta minima, di ordine inferiore rispetto a quella di partenza. Questa situazione prende il nome di cancellazione zero-polo.

Il numero di zeri e poli permette di approssimare la funzione di trasferimento con una serie di funzioni a scalino, come previsto nella costruzione dei diagrammi di Bode. La funzione reale è approssimata descrivendo i suoi massimi e minimi relativi. In corrispondenza di ogni zero/polo la pendenza della funzione di trasferimento subisce un aumento/diminuzione di 20 Decibel/decade.

Bibliografia

• Karsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. Prentice Hall, 2002.
• Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni. Fondamenti di controlli automatici. McGraw-Hill Companies, Giugno 2008. ISBN 978-88-386-6434-2.

Voci correlate

• Sistemi dinamici
• Controlli automatici
• Raggiungibilità
• Controllabilità
• Osservabilità
• Trasformata di Laplace
• Regola di Mason

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