Trasformata di Fourier

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La comprensione dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti:

Integrale di Lebesgue
Spazio Lp

La trasformata di Fourier (abbreviata come F-trasformata) è una trasformata integrale fra le più importanti della matematica, con innumerevoli applicazioni nelle scienze, in particolare la fisica (acustica, ottica, cristallografia), e in matematica stessa (analisi, teoria della probabilità, statistica, teoria dei numeri, geometria). Nella teoria dei segnali, la trasformata di Fourier è lo strumento che permette di scomporre un segnale generico in una somma di sinusoidi con frequenze, ampiezze e fasi diverse. Se il segnale in oggetto è un segnale periodico, la sua trasformata di Fourier è un insieme discreto di valori (spettro discreto, o a pettine): la frequenza più bassa è detta fondamentale ed è pari a quella del segnale stesso mentre tutte le altre frequenze sono multipli della fondamentale e prendono il nome di armoniche. Se il segnale ha un valor medio diverso da zero la serie restituisce anche una componente costante che lo rappresenta.

Data la trasformata di Laplace di una funzione o segnale, si può ottenere la sua trasformata di Fourier sostituendo s = 2πif, essendo i l'unità immaginaria ed essendo f=ω/(2π) la frequenza delle sinusoidi di base la cui combinazione lineare determina la trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier fu sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel suo trattato Théorie analytique de la chaleur.

[modifica] Definizione

Definizione: Trasformata di Fourier

Se $u: t \to u(t)\!$ appartiene a $L^1(\R)$ si definisce trasformata di Fourier della funzione $u\!$ :

$\mathcal{F}\{u\}(\omega) = \hat{u}(\omega) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt\qquad\forall\omega\in\R\!$

essendo $e$ il numero di Nepero, $i$ l'unità immaginaria ed essendo l'operatore $\int_{\R}\!$ l'integrale definito su tutto l'insieme dei numeri reali.

Indicando l'operazione con la lettera F calligrafica, avremo perciò l'operatore funzionale:

$\mathcal{F}: u\mapsto\hat{u}\!$

Si può estendere questa definizione anche per funzioni $u(\mathbf{t})\in L^1(\R^n)\!$ :

Definizione: Trasformata di Fourier

Se $u: \mathbf{t} \to u(\mathbf{t})\!$ appartiene a $L^1(\R^n)$ si definisce trasformata di Fourier della funzione $u\!$ :

$\mathcal{F}\{u\}(\boldsymbol{\omega}) = \hat{u} (\boldsymbol{\omega}) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\R^n} e^{-i\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}}u(\mathbf{t})\,d\mathbf{t}\qquad\forall\boldsymbol{\omega}\in\R^n\!$

dove $\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}\!$ rappresenta il prodotto scalare.

Più avanti vedremo anche il significato del fattore $\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\!$ .

[modifica] Esempi

Sia $u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)\!$ , cioè la funzione rettangolare di ampiezza due; allora:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt =$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}\!$

Sia $u(t) = \frac{1}{1+t^2}\!$ ; allora:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt$

Ora applicando il principio del prolungamento analitico e il lemma di Jordan otteniamo:

$\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \begin{cases} \pi e^\omega & \omega < 0 \\ \pi e^{-\omega} & \omega > 0 \end{cases}$

Mettendo insieme le due cose otteniamo:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \frac{e^{-i\omega t}}{1+t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|\omega|}\!$

[modifica] Proprietà formali

Dalla linearità dell'integrale consegue immediatamente la linearità della trasformata di Fourier, esplicitamente:

$\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)$

per ogni $f, g \in L^1(\mathbb{R})$ e $\alpha , \beta \in \mathbb{C}$ .

Segue immediatamente dalla definizione che una traslazione della funzione risulta nella moltiplicazione con un esponenziale della trasformata, e viceversa: siano $f \in L^1(\mathbb{R})$ e $\alpha \in \mathbb{C}$ , allora

se

g (t) = f (t - α)

, allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-i\alpha\omega}$ , e

se

g (t) = f (t) e i α t

, allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha)$ .

Si hanno inoltre certe simmetrie, per cui se $g (t) = f ( - t)$ , allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega)$ , e se $g (t) = f ( - t) *$ , dove l'asterisco denota il complesso coniugato, allora $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*$ . In particolare, se f è reale e pari, allora $\hat{f}$ è reale e pari; se invece f è reale e dispari, allora $\hat{f}$ è immaginaria e dispari.

Con un semplice cambio di variabile si ottiene che se $g (t) = f (t / λ)$ con $λ > 0$ , allora $\hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega)$ .

Una proprietà importante è che la trasformata di una convoluzione è data semplicemente dal prodotto delle trasformate. Se per semplificare la notazione si usa la stessa normalizzazione della trasformata di Fourier anche per la convoluzione, cioè per $f,g \in L^1(\mathbb{R})$

$(f*g)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t-s) g(s) \mathrm{d}s$ ,

allora si ha

$\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}$ .

Si può dimostrare questa proprietà applicando il teorema di Fubini.

Con un'integrazione per parti si può dimostrare che se $g (t) = - i t f (t)$ e $f,g \in L^1(\mathbb{R})$ , allora $\hat{f}$ è differenziabile e la derivata è data da $\hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega)$ . Se vice versa $f \in L^1(\mathbb{R})$ è differenziabile e la derivata è a sua volta assolutamente integrabile, $f' \in L^1(\mathbb{R})$ , allora la trasformata della derivata è $\widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega)$ . Questa proprietà permette di trovare le soluzioni di alcune equazioni differenziali, trasformandoli in equazioni algebriche per la trasformata di Fourier della soluzione.

[modifica] Teorema Riemann - Lebesgue

Teorema: Teorema Riemann - Lebesgue

Sia $u \in L^1(\R^n)\!$ ; se $\hat u = \mathcal{F}\{u\}$ , allora:

$\hat u \in C^0(\R^n)\cap L^\infty (\R^n)\!$
${\left\| \hat u \right\|}_{L^\infty(\R^n)} \le {\left\| u \right\|}_{L^1(\R^n)}\!$
$\lim_{\|\boldsymbol{\xi}\|\to\infty} \hat u (\boldsymbol{\xi}) = 0\!$