Trasformata di Fourier

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La comprensione dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti:

In analisi matematica, la trasformata di Fourier (abbreviata spesso in F-trasformata) è una trasformata integrale fra le più importanti della matematica, con numerose applicazioni nelle scienze pure e applicate.

Diffuso è il suo utilizzo in teoria dei segnali, in cui la trasformata di Fourier è lo strumento che permette di scomporre (analisi) un segnale generico (tramite la formula inversa di sintesi o antitrasformazione) in una somma infinita di sinusoidi con frequenze, ampiezze e fasi diverse, il cui insieme di valori in funzione della frequenza è detto spettro (spettro di ampiezza e spettro di fase).

Se il segnale in oggetto è un segnale periodico, la sua trasformata di Fourier (formula di analisi) o spettro è un insieme discreto di valori (spettro discreto, o a pettine): la frequenza più bassa è detta armonica fondamentale ed è quella che ha peso maggiore nella composizione del segnale finale, mentre tutte le altre frequenze sono multiple della fondamentale e prendono il nome di armoniche secondarie. In questo caso discreto la formula inversa di sintesi costituisce lo sviluppo in serie di Fourier della funzione o segnale periodico originario. Inoltre se il segnale ha un valor medio diverso da zero la serie restituisce anche una componente costante che lo rappresenta. Se invece la funzione o segnale è non periodico (a-periodico) lo spettro (trasformata) è continuo e tanto più esteso lungo l'asse delle frequenze quanto più è limitato nel dominio della variabile indipendente originaria e viceversa.

La teoria dela Trasformata/Antitrasformata di Fourier generalizza dunque la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici, ricomprendendo i segnali periodici come caso particolare.

Data la trasformata di Laplace di una funzione o segnale, si può ottenere la sua trasformata di Fourier sostituendo s = 2πif, essendo i l'unità immaginaria ed essendo f=ω/(2π) la frequenza delle sinusoidi di base la cui combinazione lineare determina la trasformata di Fourier.

La trasformata di Fourier fu sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel suo trattato Théorie analytique de la chaleur.

Indice

[modifica] Definizione

Se u: t \to u(t)\! appartiene a L^1(\R) si definisce trasformata di Fourier della funzione u\!:

\mathcal{F}\{u\}(\omega) = \hat{u}(\omega) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt\qquad\forall\omega\in\R\!

essendo e il numero di Nepero, i l'unità immaginaria ed essendo l'operatore \int_{\R}\! l'integrale definito esteso a tutto l'insieme dei numeri reali.

Indicando l'operazione con la lettera F calligrafica, avremo perciò l'operatore funzionale:

\mathcal{F}: u\mapsto\hat{u}\!

Si può estendere questa definizione anche per funzioni u(\mathbf{t})\in L^1(\R^n)\!: se u: \mathbf{t} \to u(\mathbf{t})\! appartiene a L^1(\R^n) si definisce trasformata di Fourier della funzione u\!:

\mathcal{F}\{u\}(\boldsymbol{\omega}) = \hat{u} (\boldsymbol{\omega}) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}^n} \int_{\R^n} e^{-i\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}}u(\mathbf{t})\,d\mathbf{t}\qquad\forall\boldsymbol{\omega}\in\R^n\!

dove \boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}\! rappresenta il prodotto scalare.

Più avanti vedremo anche il significato del fattore \frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\!.

Come si può notare tale strumento mappa dal dominio t al dominio ω=2*π*f. Inoltre la trasformata è una funzione complessa della variabile ω ed è quindi esprimibile in modulo (ampiezza) e fase (spettro di ampiezza e spettro di fase).

[modifica] La trasformata inversa

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi la voce Teorema di inversione di Fourier.

Il teorema di inversione di Fourier, del quale in letteratura esistono diverse varianti, definisce la trasformata inversa di Fourier: se la trasformata di Fourier è definita da:

(\mathcal{F}f)(t)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-itx}\,dx.

allora la trasformata inversa è

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty (\mathcal{F}f)(t)\, e^{itx}\,dt.

in questo modo è possibile risalire ad una funzione a partire dalla sua trasformata.

Esso si esprime dicendo che una funzione f(x) è scomponibile come la somma infinita su tutte le frequenze di sinusoidi con peso pari alla trasformata o spettro di f(x). In termini fisici la grandezza f(x) è data dalla sovrapposizione di infinite onde a differente frequenza con peso pari alla trasformata o spettro di f(x).

[modifica] Esempi

Sia u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)\!, cioè la funzione rettangolare di ampiezza due; allora:

\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt =


=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}\!

Sia u(t) = \frac{1}{1+t^2}\!; allora:

\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{a\to +\infty} \int_{-a}^{+a} e^{-i\omega t}u(t)\,dt

Ora applicando il principio del prolungamento analitico e il lemma di Jordan otteniamo:

\lim_{a\to +\infty} \int_{-a}^{+a} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \begin{cases} \pi e^\omega & \omega < 0 \\ \pi e^{-\omega} & \omega > 0 \end{cases}

Mettendo insieme le due cose otteniamo:

\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \frac{e^{-i\omega t}}{1+t^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|\omega|}\!

[modifica] Proprietà formali

Dalla linearità dell'integrale consegue immediatamente la linearità della trasformata di Fourier, esplicitamente:

\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)

per ogni f, g \in L^1(\mathbb{R}) e \alpha , \beta \in \mathbb{C}.

Segue immediatamente dalla definizione che una traslazione della funzione risulta nella moltiplicazione con un esponenziale della trasformata, e viceversa: siano f \in L^1(\mathbb{R}) e \alpha \in \mathbb{C}, allora

se g(t) = f(t − α), allora \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-i\alpha\omega}, e
se g(t) = f(t)eiαt, allora \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha).

Si hanno inoltre certe simmetrie, per cui se g(t) = f( − t), allora \hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega), e se g(t) = f( − t) * , dove l'asterisco denota il complesso coniugato, allora \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*. In particolare, se f è reale e pari, allora \hat{f} è reale e pari; se invece f è reale e dispari, allora \hat{f} è immaginaria e dispari.

Con un semplice cambio di variabile si ottiene che se g(t) = f(t / λ) con λ > 0, allora \hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega).

Una proprietà importante è che la trasformata di una convoluzione è data semplicemente dal prodotto delle trasformate. Se per semplificare la notazione si usa la stessa normalizzazione della trasformata di Fourier anche per la convoluzione, cioè per f,g \in L^1(\mathbb{R})

(f*g)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t-s) g(s) \mathrm{d}s,

allora si ha

\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}.

Si può dimostrare questa proprietà applicando il teorema di Fubini.

Con un'integrazione per parti si può dimostrare che se g(t) = − itf(t) e f,g \in L^1(\mathbb{R}), allora \hat{f} è differenziabile e la derivata è data da \hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega). Se vice versa f \in L^1(\mathbb{R}) è differenziabile e la derivata è a sua volta assolutamente integrabile, f' \in L^1(\mathbb{R}), allora la trasformata della derivata è \widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega). Questa proprietà permette di trovare le soluzioni di alcune equazioni differenziali, trasformandoli in equazioni algebriche per la trasformata di Fourier della soluzione.

[modifica] Teorema Riemann - Lebesgue

Sia u \in L^1(\R^n)\!; se \hat u = \mathcal{F}\{u\}, allora:

  1. \hat u \in C^0(\R^n)\cap L^\infty (\R^n)\!
  2. {\left\| \hat u \right\|}_{L^\infty(\R^n)} \le {\left\| u \right\|}_{L^1(\R^n)}\!
  3. \lim_{\|\boldsymbol{\xi}\|\to\infty} \hat u (\boldsymbol{\xi}) = 0\!

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. ISBN 0-12-585002-6
Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier"
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