Trasformata di Fourier

In analisi matematica, la trasformata di Fourier, abbreviata spesso in F-trasformata, è una trasformata integrale con molte applicazioni nella fisica e nell'ingegneria. Fu sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel suo trattato Théorie analytique de la chaleur. La trasformata di Fourier è uno degli strumenti matematici maggiormente sfruttati nell'ambito delle scienze pure e applicate. Viene utilizzata, ad esempio, per trasformare una funzione matematica $f(t)$ definita nel dominio del tempo in una nuova funzione $\hat f$ il cui argomento è la frequenza (indicata in hertz). Questa funzione viene chiamata spesso spettro delle frequenze della funzione $f$. La trasformata di Fourier è invertibile (vedi teorema di inversione di Fourier), quindi, a partire dalla trasformata di una funzione $\hat f$ è possibile risalire alla funzione $f$.

Nel caso di funzioni periodiche, la trasformata di Fourier può essere semplificata con il calcolo di un insieme discreto di ampiezze complesse, chiamati coefficienti della serie di Fourier. Inoltre, quando un segnale nel dominio del tempo viene campionato, ad esempio per facilitare l'immagazzinamento o l'elaborazione digitale, è possibile ricreare una versione della trasformata originale utilizzando la formula di sommazione di Poisson.

Formalmente, la trasformata di Fourier $\mathcal{F}\left\{f(t)\right\}(\omega)$ di una funzione $f(t)$ è equivalente al valutare la trasformata di Laplace bilatera $\mathcal{L}$ di $f$ ponendo $s = i\omega$, e tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.

Generalità

La trasformata di Fourier è largamente utilizzata nell'analisi in frequenza dei sistemi dinamici, nella risoluzione delle equazioni differenziali e in teoria dei segnali. Il motivo di una così vasta diffusione risiede nel fatto che si tratta di uno strumento che permette di scomporre e successivamente ricombinare, tramite la formula inversa di sintesi o antitrasformazione, un segnale generico in una somma infinita di sinusoidi con frequenze, ampiezze e fasi diverse. L'insieme di valori in funzione della frequenza, continuo o discreto, è detto spettro di ampiezza e spettro di fase.

Se il segnale in oggetto è un segnale periodico, la sua trasformata di Fourier è un insieme discreto di valori, che in tal caso prende il nome di spettro discreto o spettro a pettine: in analisi armonica, la frequenza più bassa è detta armonica fondamentale ed è quella che ha peso maggiore nella ricomposizione finale del segnale, mentre le altre frequenze sono multiple della fondamentale e prendono il nome di armoniche secondarie. In questo caso la rispettiva formula inversa di sintesi costituisce lo sviluppo in serie di Fourier della funzione o segnale periodico originario. Se il segnale ha un valor medio diverso da zero la serie restituisce anche una componente costante che lo rappresenta. Se un segnale periodico viene troncato all'esterno di un certo intervallo in ascissa rimanendo definito solo all'interno di un certo intervallo di definizione, lo spettro risultante sarà quello discreto in cui però ciascuna riga si allarga nel dominio della variabile dipendente di un valore pari all'inverso dell'intervallo di definizione del segnale stesso.

Nel caso in cui la funzione sia non periodica lo spettro è continuo, e tanto più è esteso lungo l'asse delle frequenze quanto più è limitato nel dominio originario della variabile indipendente, e viceversa.

La teoria della trasformata e antitrasformata di Fourier generalizza dunque la teoria della Serie di Fourier al caso di segnali non periodici, ricomprendendo i segnali periodici come caso particolare ed insieme confluiscono nella cosiddetta Analisi di Fourier o analisi armonica.

Data la trasformata di Laplace di una funzione o segnale, si può ottenere, sotto determinate ipotesi, la sua trasformata di Fourier sostituendo s = 2πif, essendo i l'unità immaginaria ed essendo f=ω/(2π) la frequenza delle sinusoidi di base la cui combinazione lineare determina la trasformata di Fourier.

Definizione

Per approfondire, vedi Serie di Fourier.

Si consideri la base $\{ u_n = e^{i n t},n\in\mathbb{Z}\}$, ortonormale rispetto al prodotto interno standard, di uno spazio di Hilbert $H$. Un tale sistema ortonormale in $L^2(T)$, dove $T$ è la circonferenza unitaria, è detto sistema ortonormale trigonometrico, ed è un sistema completo.

Si definisce serie di Fourier di una funzione periodica $f(x) \in L^2(T)$ a quadrato sommabile la rappresentazione della funzione per mezzo di una combinazione lineare dei vettori di base $u_n$ del sistema ortonormale trigonometrico:

$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) u_n = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{int}$

La serie $\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{int}$ converge uniformemente a $f(x)$, ed ogni elemento di $H$ può essere scritto in tal modo.

I coefficienti della combinazione sono dunque la proiezione della funzione sui vettori di base stessi:

$f(n) := \frac{(f,u_n)}{\| u_n \|^2} = (f,u_n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-inx}dx$

e sono detti coefficienti di Fourier.

Si supponga di estendere $T$ ad un intervallo sufficientemente ampio in modo che il supporto di una funzione periodica $f$ con periodo $T = 2\pi$ sia contenuto in $[-T / 2,T / 2]$. Allora l'n-esimo coefficiente $f(n)$ è dato da:

$f(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\,e^{-i2\pi \left(\frac n T \right)x}dx$

In modo informale si può affermare che all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo $T$ sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione $f(x)$ i coefficienti della serie approssimano il valore della trasformata di Fourier $\mathcal{F}\{f\}$ della funzione stessa, e la somma della serie approssima il valore della trasformata inversa. In particolare, i coefficienti della serie sono i valori della trasformata di Fourier campionata ad intervalli di larghezza $1/T$, e nel caso in cui $f(x)$ sia identicamente nulla al di fuori dell'intervallo di integrazione $[-T / 2,T / 2]$ il valore dell'n-esimo coefficiente di Fourier è pari a $\mathcal{F}\{f\}\left( {n \over T} \right)$.

Estendendo $T$ all'intero asse reale si definisce trasformata di Fourier di una funzione $f$ appartenente allo spazio di Schwartz l'integrale:

$\mathcal{F}\{f\}(t) = \hat{f}(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} f(x)e^{-ixt}\,dx\qquad\forall t\in\R$

Dal momento che $f$ appartiene a $L^1(\R)$, l'integrale è ben definito per ogni numero reale. Come conseguenza del teorema di Plancherel, la trasformata si può estendere in modo unico anche nello spazio di Hilbert $L^2$, tuttavia come funzione puntuale è definita quasi ovunque in tale insieme.

Indicando l'operazione con la lettera F calligrafica, con il termine trasformata di Fourier si identifica anche l'operatore funzionale:

$\mathcal{F}: f\mapsto\hat{f}$

Si può estendere la definizione anche per funzioni di Schwartz di una variabile vettoriale $f(\mathbf{x})\in L^1(\R^n)$:

$\mathcal{F}\{f\}(\mathbf{t}) = \hat{f} (\mathbf{t}) := \frac{1}{(2\pi)^{n \over 2}} \int_{\R^n} e^{-i\mathbf{t}\cdot \mathbf{x}}f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}\qquad\forall\mathbf{t}\in\R^n$

dove $\mathbf{t}\cdot \mathbf{x}$ rappresenta il prodotto scalare dei due vettori.

La trasformata di Fourier è un endomorfismo dello spazio di Schwartz. In particolare, mappa dal dominio $x$ al dominio $t = 2 \pi f$, ed è una funzione complessa della variabile $t$. La trasformata è quindi esprimibile in modulo e argomento tramite rispettivamente lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase.

Il teorema di inversione di Fourier

Per approfondire, vedi Teorema di inversione di Fourier.

Il teorema di inversione di Fourier afferma che se $f$ e la sua trasformata appartengono ad $L^1$ allora:

$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt$

In modo informale si può affermare che, all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione, la somma della serie approssima il valore della trasformata inversa.

Esso si esprime dicendo che matematicamente una funzione $f(x)$ è scomponibile come la somma infinita su tutte le frequenze di sinusoidi con peso pari alla trasformata o spettro $X(f)$ di $f(x)$. Equivalentemente, si dice invece che la grandezza $f(x)$ è data dalla sovrapposizione di infinite onde a differente frequenza con peso pari alla trasformata o spettro di $f(x)$.

Esistenza ed unicità

Sia $\phi \in L^1$ un omomorfismo a valori complessi tale che:

$\phi(f*g)= \phi(f)\phi(g) \qquad f,g \in L^1$

dove l'asterisco denota la convoluzione. Si dimostra che:

• Esiste un'unica $\beta \in L^\infty$ tale che:

$\phi(f)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\beta(x)dx$

• Vale la proprietà:

$\phi(f*g) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(y)\phi (f(x-y))dy$

Dato che:

$\phi(f)\phi(g) = \phi(f)\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(y)\beta(y)dy$

dall'uguaglianza (per ipotesi) dei membri alla destra nelle precedenti due relazioni segue che allora è possibile scrivere, portando $\phi$ dentro l'integrale nella seconda e uguagliando gli integrandi:

$\phi(f)\beta(y) = \phi (f(x-y)) \$

Assumendo che $\beta$ sia una funzione continua e sostituendo $y$ con $x+y$ e $f$ con $f(y-x)$ si ottiene:

$\phi(f(z))\beta(x+y) = \phi(f (z-(x+y)) = \phi(f(z-x))\beta(y)= \phi(f(z))\beta(x)\beta(y) \$

e quindi:

$\beta(x+y) = \beta(x)\beta(y) \$

il che implica che $f(0)=1$. Si mostra inoltre che $\beta$ è differenziabile. Differenziando la precedente relazione rispetto a $y$ e valutando in $y=0$ si ottiene:

$\beta'(x) = \beta'(0)\beta(x)$

con $\beta'(0)$ una costante, da cui:

$\beta(x) = e^{\beta'(0)x} \$

Dalla limitatezza di $\beta$ segue che $\beta'(0)$ è un numero puramente immaginario. Esiste quindi un $t$ reale tale che:

$\beta'(x) = e^{-itx} \$

L'unicità di $t$ discende considerando una traslazione $f = e^{-|x|}$ e notando che $s \ne t$ implica che la trasformata $\hat f$ è diversa se valutata in $t$ oppure $s$. Si può pertanto associare ad ogni omomorfismo a valori complessi non identicamente nullo $\phi \in L^1$ un unico $t$ reale in modo che si verifichi la relazione:

$\phi(f) = \hat f(t) \$

Proprietà

Dalla linearità dell'integrale consegue immediatamente la linearità della trasformata di Fourier, esplicitamente:

$\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)$

per ogni $f, g \in L^1(\mathbb{R})$ e $\alpha , \beta \in \mathbb{C}$.

Segue immediatamente dalla definizione che una traslazione della funzione risulta nella moltiplicazione con un esponenziale della trasformata, e viceversa.

Siano $f \in L^1(\mathbb{R})$ e $\alpha \in \mathbb{C}$, allora valgono le seguenti proprietà:

• Se $g(t) = f(t - \alpha)$ allora:

$\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-i\alpha\omega}$

• Se $g(t) = f(t)e^{i\alpha t}$ allora:

$\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha)$

• Se $g(t) = f(-t)$ allora:

$\hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega)$

• Se $g(t) = f(-t)^*$ allora:

$\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*$

dove l'asterisco denota il complesso coniugato. In particolare, se f è reale e pari, allora $\hat{f}$ è reale e pari; se invece f è reale e dispari, allora $\hat{f}$ è immaginaria e dispari.

• Attraverso un cambio di variabile si ottiene che se:

$g(t) = f(t/\lambda) \$

allora:

$\hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega) \quad \lambda > 0$.

Il teorema di convoluzione

Per approfondire, vedi Convoluzione e Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di una convoluzione è data dal prodotto delle trasformate. Siano $f$ e $g$ funzioni a descrescenza rapida in $\R^n$. La loro convoluzione è data dall'integrale:

$(f*g)(t) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{\R^n} f(t-i \omega) g(i \omega) \mathrm{d}\omega$

Sia $\ \mathcal{F}$ l'operatore trasformata di Fourier, sicché $\ \mathcal{F}\{f\}$ e $\ \mathcal{F}\{g\}$ sono le trasformate di $\ f$ e $\ g$ rispettivamente. Allora si ha:

$\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}$

dove $\cdot$ denota la moltiplicazione. Si ha anche che:

$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$

Applicando la trasformata inversa $\mathcal{F}^{-1}$, si ottiene:

$f*g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F}\{f\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\big\}$

Si può dimostrare questa proprietà applicando il teorema di Fubini.

Correlazione incrociata

Per approfondire, vedi Correlazione incrociata.

In modo analogo alla convoluzione, si mostra che se $h(x)$ è la correlazione incrociata di $f(x)$ e $g(x)$:

$h(x)=(f\star g)(x) = \int_{-\infty}^\infty \overline{f(y)}\,g(x+y)\,dy$

allora la trasformata di Fourier di $h(x)$ è:

$\mathcal{F}\{h \}(\xi) = \overline{\mathcal{F}\{f\}(\xi)}\,\mathcal{F}\{g\}(\xi)$

Come caso particolare, l'autocorrelazione di $f(x)$ è data da:

$h(x)=(f\star f)(x)=\int_{-\infty}^\infty \overline{f(y)}f(x+y)\,dy$

e si ha:

$\mathcal{F}\{h\}(\xi) = \overline{\mathcal{F}\{f\}(\xi)}\,\mathcal{F}\{f\}(\xi) = |\mathcal{F}\{f\}(\xi)|^2$

Trasformata della derivata

Con un'integrazione per parti si può dimostrare che se:

$g(t) = -itf(t) \$

ed $f,g \in L^1(\mathbb{R})$, allora $\hat{f}$ è differenziabile e la derivata è data da:

$\hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega)$

Se, al contrario, $f \in L^1(\mathbb{R})$ è differenziabile e la derivata è a sua volta assolutamente integrabile, ovvero $f' \in L^1(\mathbb{R})$, allora la trasformata della derivata è:

$\widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega)$

Questa proprietà permette di trovare le soluzioni di alcune equazioni differenziali, trasformandoli in equazioni algebriche per la trasformata di Fourier della soluzione.

Il teorema di Plancherel

Per approfondire, vedi Teorema di Plancherel.

Il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier a funzioni che appartengono all'intersezione dello spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue, denotato con $L^1$, e lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato con $L^2$. In particolare, l'applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad $L^2$, è un'isometria da $L^1 \cap L^2$ in $L^2$ che può essere estesa in maniera unica ad un'isometria da $L^2$ in sé.

Il teorema di Plancherel afferma che è possibile associare ad ogni funzione $f$ di $L^2$ una funzione $\hat f$ di $L^2$ tale da soddisfare le seguenti proprietà:

• Se $f \in L^1 \cap L^2$, allora $\hat f$ è la trasformata di Fourier di $f$.
• Per ogni $f \in L^2$ si ha:

$\| \hat f \|_2 = \| f \|_2$

• L'applicazione $f \to \hat f$ è un isomorfismo da $L^2$ in sé in uno spazio di Hilbert.
• Se:

$\phi_A(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A f(x)e^{-ixt}\,dx \$

e se:

$\psi_A(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-A}^A \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt$

allora:

$\lim_{A \to \infty} \|\phi_A - \hat{f}\|_2 = 0 \qquad \lim_{A \to \infty} \|\psi_A - f \|_2 = 0$

Dal momento che $L^1 \cap L^2$ è denso in $L^2$, le prime due proprietà implicano che l'applicazione $f \to \hat f$ è unica, mentre l'ultima è detta anche teorema di inversione di $L^2$.

Il teorema di Parseval

Per approfondire, vedi Teorema di Parseval.

Siano $A(x)$ e $B(x)$ due funzioni Riemann-integrabili, a valori complessi e definite su $\R$. Siano esse periodiche con periodo $2\pi$ e sia la rappresentazione per mezzo della serie di Fourier:

$A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} \qquad B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}$

Allora:

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx$

Nel caso particolare in cui $A(x)=B(x)$ il teorema stabilisce che, data una funzione in $C^2$ su $\R$ con derivata prima e seconda assolutamente convergenti, allora l'area sottesa dal modulo al quadrato della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier:

$\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx$

Una scrittura integrale equivalente alla precedente relazione è:

$\int_{-\infty}^{\infty} | A(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat A(\omega) |^2 d\omega$

dove $\hat A(\omega) = \mathcal{F} \{ A(t) \}$ è la trasformata di Fourier normalizzata di $A(x)$ e $\omega$ la frequenza di $A$.

Il lemma di Riemann-Lebesgue

Per approfondire, vedi Lemma di Riemann-Lebesgue.

Sia $f:\R \to \C$ una funzione misurabile. Se $f$ è sommabile allora:

$\int^\infty_{-\infty} f(x) e^{-izx}\,dx \rightarrow 0\text{ per } z\rightarrow \pm\infty$

La trasformata di Fourier di $f$ tende quindi a $0$ per valori infiniti di $z$. Il lemma si estende anche al caso pluridimensionale.

Relazione con la trasformata di Laplace

La trasformata di Fourier $\mathcal{F}\left\{f(t)\right\}(\omega)$ di una funzione $f(t)$ è equivalente al valutare la trasformata di Laplace bilatera $\mathcal{L}$ di $f$ ponendo $s = i\omega$, ovvero:

$\mathcal{F}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t$

Tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza della trasformata di Laplace contiene l'asse immaginario.

Esempi

• Sia $u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)$, cioè la funzione rettangolare di ampiezza due. Allora:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{+1}e^{-i\omega t}\,dt =$

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\left [\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right ]}_{-1}^{+1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{i\omega}-e^{-i\omega}}{i\omega} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin\omega}{\omega}$

• Sia $u(t) = \frac{1}{1+t^2}$. Allora:

$\hat u (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-i\omega t}u(t)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-i\omega t}}{1 + t^2}dt$

Si può usare il teorema dei residui notando che la funzione ha due poli semplici in $t = \pm i$, ottenendo per $y = -i$:

$\hat u (\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{t \rightarrow -i} (-2\pi i)e^{-i\omega t} \frac{1}{2t} = \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{-\omega}$

mentre per $y = +i$:

$\hat u (\omega) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{t \rightarrow +i} (-2\pi i)e^{-i\omega t} \frac{1}{2t} = \frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}e^{\omega}$

Unendo i due residui si ha infine:

$\frac{\pi}{\sqrt{2\pi}}\Big(e^{\omega} + e^{-\omega}\Big) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|\omega|}$

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Analisi di Fourier
• Convoluzione
• Lemma di Riemann-Lebesgue
• Serie di Fourier
• Teorema di convoluzione
• Teorema di inversione di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata di Fourier veloce
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata inversa di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Trasformata di Steinmetz

Collegamenti esterni

• (EN) P.I. Lizorkin, "Fourier transform" SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (2001)
• (EN) The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples — A Matlab tutorial
• (EN) The Fourier Transform Tutorial Site (thefouriertransform.com)
• (EN) Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
• (EN) Stephan Bernsee's FFTlab (Java Applet)
• (EN) Stanford Video Course on the Fourier Transform
• (EN) The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension
• (EN) An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform

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